Calcula la integral de superficie:
$$I=\int\!\!\int_S(x^2+y^2)\, dS$$
donde \(S\) es la esfera \(x^2+y^2+z^2=a^2\)
y \(a\) es un número real positivo, con los tres métodos siguientes
Utilizando la simetría del integrando y de la superficie de integración
Resolución del segundo apartado
Paso 1
Teniendo en cuenta cómo se realiza la integral de un campo escalar sobre una superficie dada en paramétricas
Integral de un campo escalar sobre una superficie, necesitamos unas ecuaciones paramétricas que describan todos los puntos sobre los que se está planteando la integral. Podemos tomar
¡NO!, ¡una superficie no tiene tres grados de libertad, es decir, tres parámetros independientes cada uno en un intervalo!
Sí, esas ecuaciones paramétricas son de una esfera de radio \(a\) centrada en el origen.
Paso 2
Hallamos ahora el módulo del producto vectorial de los dos vectores tangentes \({\bf T}_\theta\) y \({\bf T}_\phi\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Escribamos la función del integrando en las variables \(\theta\) y \(\phi\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
El campo escalar del integrando es
$$x^2+y^2=a^2\, \mbox{sen}^2\phi\, \cos^2\theta+a^2\, \mbox{sen} ^2\phi\, \mbox{sen} ^2\theta=a^2\, \mbox{sen} ^2\phi$$
con lo cual la integral resulta
$$I=a^4\int_0^{2\pi}{\int_0^\pi{\, \, \mbox{sen} ^3\phi}\, d\phi}\, d\theta=2\pi a^4\int_0^\pi{\, \, \mbox{sen}^3\phi}\, d\phi$$
Nótese que ésta es la misma expresión que resultaría si en la integral simple en \(r\) que se obtenía en el primer apartado hubiéramos aplicado el cambio de variable,
salvo que en aquel caso sólo se cubriría entre 0 y \(\pi/2\) pues estábamos integrando
únicamente en la semiesfera superior.
Paso 4
El ejercicio termina resolviendo esta última integral.
Hazla y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Encontrar unas ecuaciones paramétricas de la esfera
Calcular el módulo del vector normal a los vectores tangentes correspondientes a esas ecuaciones
Escribir el integrando en función de los nuevos parámetros
Resolver la integral doble resultante
Resolución del tercer apartado
Este método se basa en observar los dos hechos siguientes:
debido al comportamiento idéntico de las tres variables \(x\), \(y\) , \(z\) en la esfera, \(S\), se tiene
$$ \int\int_S\, x^2\, dS=\int\int_S\, y^2\, dS=\int\int_S\, z^2\, dS$$
la siguiente integral es de muy fácil resolución:
$$\int\int_S\, (x^2+y^2+z^2)\, dS\underbrace{=}_{S:\, x^2+y^2+z^2=a^2}\int\int_S\, a^2\, dS=a^2\underbrace{\int\int_S\, dS}_{\text{área de S}}=4\pi a^4$$
Uniendo estos dos resultados, obtenemos cómodamente el valor de \(I\); inténtalo tú y pulsa en
'Ver' cuando lo tengas.