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Enunciado

Calcula la integral de superficie: $$I=\int\!\!\int_S(x^2+y^2)\, dS$$ donde \(S\) es la esfera \(x^2+y^2+z^2=a^2\) y \(a\) es un número real positivo, con los tres métodos siguientes
  1. Utilizando ecuaciones explícitas (Ver ejercicio anterior)
  2. Utilizando ecuaciones paramétricas
  3. Utilizando la simetría del integrando y de la superficie de integración

Resolución del segundo apartado

Paso 1

Teniendo en cuenta cómo se realiza la integral de un campo escalar sobre una superficie dada en paramétricas Integral de un campo escalar sobre una superficie, necesitamos unas ecuaciones paramétricas que describan todos los puntos sobre los que se está planteando la integral. Podemos tomar

$$\left\{\begin{array}{ll}x=r\cos\theta\, \mbox{sen}\, \phi \ \ \ & r\in [0,a]\\ y=r\, \mbox{sen}\, \theta\, \mbox{sen}\, \phi \ \ \ , & \theta\in[0,2\pi]\\ z=r\cos\phi \ \ \ & \phi\in [0,\pi]\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}x=a\cos\theta\, \mbox{sen}\, \phi\\ y=a\, \mbox{sen}\, \theta\, \mbox{sen}\, \phi\\ z=a\cos\phi\end{array}\right. \ \ \ , \ \ \begin{array}{l}\theta\in[0,2\pi]\\ \phi\in [0,\pi]\end{array}$$
¡NO!, ¡una superficie no tiene tres grados de libertad, es decir, tres parámetros independientes cada uno en un intervalo!
Sí, esas ecuaciones paramétricas son de una esfera de radio \(a\) centrada en el origen.

Paso 2

Hallamos ahora el módulo del producto vectorial de los dos vectores tangentes \({\bf T}_\theta\) y \({\bf T}_\phi\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$\mathbf{T_\theta\times T_\phi}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\-a\, \mbox{sen}\, \theta\, \mbox{sen}\, \phi & a\cos \theta\, \mbox{sen}\, \phi & 0\\ a\cos\theta\cos\phi & a\, \mbox{sen}\, \theta\cos\phi & -a\, \mbox{sen}\, \phi\end{array}\right|\ \ \ \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \ \ \ |\mathbf{T_\theta\times T_\phi}|=a^2\, \mbox{sen}\, \phi\sqrt{\, \mbox{sen}\, ^2\phi\cos^2\theta+\, \mbox{sen}^2\phi\, \mbox{sen}^2\theta+\cos^2\phi}=a^2\, \mbox{sen}\, \phi$$

Paso 3

Escribamos la función del integrando en las variables \(\theta\) y \(\phi\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
El campo escalar del integrando es $$x^2+y^2=a^2\, \mbox{sen}^2\phi\, \cos^2\theta+a^2\, \mbox{sen} ^2\phi\, \mbox{sen} ^2\theta=a^2\, \mbox{sen} ^2\phi$$ con lo cual la integral resulta $$I=a^4\int_0^{2\pi}{\int_0^\pi{\, \, \mbox{sen} ^3\phi}\, d\phi}\, d\theta=2\pi a^4\int_0^\pi{\, \, \mbox{sen}^3\phi}\, d\phi$$ Nótese que ésta es la misma expresión que resultaría si en la integral simple en \(r\) que se obtenía en el primer apartado hubiéramos aplicado el cambio de variable, salvo que en aquel caso sólo se cubriría entre 0 y \(\pi/2\) pues estábamos integrando únicamente en la semiesfera superior.

Paso 4

El ejercicio termina resolviendo esta última integral. Hazla y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$I=2\pi a^4\int_0^{\pi}\, \, \mbox{sen}\, \phi (1-\cos^2 \phi)\, d\phi=2\pi a^4\int_0^{\pi}\, (\, \mbox{sen}\, \phi -\, \mbox{sen}\, \phi \cos^2 \phi))\, d\phi= $$ $$=2\pi a^4\left [-\cos\phi +\frac{1}{3}\cos^3\phi\right ]_0^\pi=2\pi a^4\frac{4}{3}=\frac{8\pi}{3}a^4$$

Resumen del segundo apartado

  1. Encontrar unas ecuaciones paramétricas de la esfera
  2. Calcular el módulo del vector normal a los vectores tangentes correspondientes a esas ecuaciones
  3. Escribir el integrando en función de los nuevos parámetros
  4. Resolver la integral doble resultante

Resolución del tercer apartado

Este método se basa en observar los dos hechos siguientes:
  1. debido al comportamiento idéntico de las tres variables \(x\), \(y\) , \(z\) en la esfera, \(S\), se tiene $$ \int\int_S\, x^2\, dS=\int\int_S\, y^2\, dS=\int\int_S\, z^2\, dS$$
  2. la siguiente integral es de muy fácil resolución: $$\int\int_S\, (x^2+y^2+z^2)\, dS\underbrace{=}_{S:\, x^2+y^2+z^2=a^2}\int\int_S\, a^2\, dS=a^2\underbrace{\int\int_S\, dS}_{\text{área de S}}=4\pi a^4$$
Uniendo estos dos resultados, obtenemos cómodamente el valor de \(I\); inténtalo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$\int\int_S\, (x^2+y^2)\, dS=2\underbrace{\int\int_S\, x^2\, dS}_{\frac{1}{3}\int\int_S\, (x^2+y^2+z^2)\, dS}=\frac{2}{3}4\pi a^4=\frac{8 \pi}{3} a^4$$