Integral de un campo escalar sobre una superficie
En explícitas
Si \(G\) es una superficie dada por \(z= f(x,y)\)
con \((x,y)\) en la región plana \(R\), \(f\) de clase \(C^1\) y
\(g(x,y,f(x,y))\) continua en \(R\), entonces la integral de superficie de \(g\)
sobre \(G\) es
$$\int{\int_G{}}\, g(x,y,z)\, dS=\int{\int_R{\, g(x,y,f(x,y))
\sqrt{f'_x^2+f'_y^2+1}}}\, dx\, dy=\int{\int_R{\, g(x,y,f(x,y)) \sec \alpha }}\, dx\, dy$$
donde \(\alpha\) es el ángulo formado entre \({\bf n}\) y el eje OZ.
En paramétricas
Si \(G\) es una superficie dada por \((x(u,v),y(u,v),z(u,v))\)
de clase \(C^1\) en \(R\) y
\(g(x,y,z)\) es continua en \(G\), entonces la integral de superficie de \(g\)
sobre \(G\) es
$$\int{\int_G{}}\, g(x,y,z)\, dS=\int\int_R\, g(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |\mathbf{T}_u\times \mathbf{T}_v|\, du\, dv$$
donde
$$\mathbf{T}_u=(x'_u, y'_u, z'_u) \ \ \ ,\ \ \ \mathbf{T}_v=(x'_v, y'_v, z'_v)$$