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Enunciado

Calcula la integral de superficie: $$I=\int\!\!\int_S(x^2+y^2)\, dS$$ donde \(S\) es la esfera \(x^2+y^2+z^2=a^2\) y \(a\) es un número real positivo, con los tres métodos siguientes
  1. Utilizando ecuaciones explícitas
  2. Utilizando ecuaciones paramétricas (Ver ejercicio siguiente)
  3. Utilizando la simetría del integrando y de la superficie de integración (Ver ejercicio siguiente)

Resolución del primer apartado

Paso 1

Teniendo en cuenta cómo se realiza la integral de un campo escalar sobre una superficie dada en cartesianas, ver Integral de un campo escalar sobre una superficie, necesitamos una ecuación que nos dé todos los puntos sobre los que se está planteando la integral. En este caso no existe una ecuación explícita para todos los puntos de la esfera, pero el integrando, \(x^2+y^2\), es una función par en \(z\), luego la integral sobre la semiesfera superior es igual a la obtenida sobre la semiesfera inferior.
Estos enunciados no son correctos
El primero es correcto pero los siguientes no
Estos enunciados son correctos
Piénsalo bien
Piénsalo bien
En efecto, todo lo anterior es correcto. Por tanto, $$I=2I_1=2\int\!\!\int_{S_1}(x^2+y^2)\, dS $$ donde \(S_1\) es por ejemplo la semiesfera superior.

Paso 2

Debemos ahora escribir la ecuación \(z=f(x,y)\) de la superficie y la región \(R_{xy}\) del plano en la que está definida. Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$S_1:\ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}=f(x,y)\ \ ,\ \ (x,y)\in R_{xy}=\{(x,y)/x^2+y^2\leq a^2\}$$

Paso 3

Determinaremos ahora el elemento diferencial de superficie. Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$dS=\sqrt{1+f'_x^2+f'_y^2}\,dA=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\,dA$$

Paso 4

Plantemos la integral $$I_1=\int\int_{S_1}(x^2+y^2)\, dS =\int\int_{R_{xy}} (x^2+y^2)\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\, dA$$ que evidentemente evaluamos mediante un cambio a coordenadas polares:

Ninguna de las dos propuestas es correcta
$$ \ \ I_1=\int_0^{2\pi} \int_0^a r^2\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\, dr \, d\theta$$
$$\ \ I_1=\int_0^{2\pi} \int_0^a r^3\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\, dr \, d\theta$$
Míralo bien, sí hay una correcta
Míralo bien, falta algo
Sí, esta es la correcta. Además, puesto que ni en el integrando ni en los extremos de integración de la integral en \(r\) hay dependencia de la variable \(\theta\), podemos escribir $$I_1=2\pi a\int_0^a \frac{r^3}{\sqrt{a^2-r^2}}\, dr$$
Determinaremos aparte la primitiva, integrando por partes. Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas; ten en cuenta que \(r/\sqrt{a^2-r^2}\) es casi inmediata.
Ver
$$\int{\frac{r^3}{\sqrt{a^2-r^2}}}\, dr=\left\{\begin{array}{ll}u=r^2 & \ \ du=2r\,dr\\ dv=\frac{r\,dr}{\sqrt{a^2-r^2}} & \ \ v=-\sqrt{a^2-r^2}\end{array}\right\}= \hspace{1cm}$$ $$=-r^2\sqrt{a^2-r^2}+2\int{r\sqrt{a^2-r^2}}\,dr=-r^2\sqrt{a^2-r^2}-\frac{2}{3}(a^2-r^2)^\frac{3}{2}+C$$
Con lo que concluimos, $$I=2I_1=4\pi a\left[-r^2\sqrt{a^2-r^2}-\frac{2}{3}(a^2-r^2)^\frac{3}{2}\right]_0^a=\frac{8\pi}{3}a^4$$

Resumen del primer apartado

  1. Utilizar simetría del integrando para trabajar con una superficie que admita ecuación explícita
  2. Escribir la ecuación y la región del plano en la que está definida
  3. Encontrar el elemento diferencial de superficie
  4. Hacer un cambio de variable en la integral doble y resolver