Definición (Caja y Partición).-

$\bullet $ Caja del espacio $R{^3}$ es el conjunto $$H = [a,b] \times [c,d] \times [e,j] = \{ (x,y,z)/a \le x \le b,{\kern 1pt} \,\,c \le y \le d,{\kern 1pt} \,\,e \le z \le j\} $$ $\bullet $ Partición $P$ de una caja $H$ es el conjunto de subcajas generadas al tomar una partición en $[a,b]$, otra en $[c,d]$ y otra en $[e,j]$. Si hay $n$ subcajas y cada una de ellas se denota por ${H_k}$, tendremos $$H = \bigcup\limits_{k = 1}^n {H_k}$$ $\bullet $ Llamaremos norma de la partición, y la designaremos por $\left\| H \right\|$ a la longitud de la diagonal más larga de las subcajas de la partición de $H$.

Definición (Suma de Riemann).- Llamaremos suma de Riemann de la función $f(x,y,z)$ definida en la caja $H$ para la partición $\left\{ {{H_k}} \right\}_{k = 1}^n$ a la suma, $$\sum\limits_{k = 1}^n f({x_k},{y_k},{z_k})\Delta {V_k}$$ donde $({x_k},{y_k},{z_k})$ es un punto cualquiera tomado en la subcaja ${H_k}$ y $\Delta {V_k}$ es el volumen de ${H_k}$.

Definición (Integral triple)).- Sea $f$ una función de tres variables definida sobre una caja $H$. Si para toda partición de $H$, tal que la norma de la partición tiende a cero, existe el límite $$\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle \left\| H \right\| \to 0 \atop \scriptstyle (n \to \infty ) } \sum\limits_{k = 1}^n {f({x_k},{y_k},{z_k})\Delta {V_k}} $$ se dice que $f$ es integrable en $H$. Además el valor de éste límite es la integral triple de $f$ sobre $H$ y se denota por $$\int\!\!\!\int\!\!\!\int_H {f(x,y,z)dV} = \mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle \left\| H \right\| \to 0 \atop \scriptstyle (n \to \infty ) } \sum\limits_{k = 1}^n {f({x_k},{y_k},{z_k})\Delta {V_k}} $$