Volumen y temperatura media de un sólido (tercera parte)

Enunciado

Tomemos de nuevo el sólido $S$ que ocupa la región del primer octante limitada inferiormente por el rectángulo $R=[0,a]\times[0,b]$ del plano $XY$ y superiormente por la superficie $z=c+(x-a)^2+(y-b)^2$ (con $c>0$) considerando el caso particular $a=2$, $b=1$ y $c=1$. Toma la función temperatura $T$ que en cada punto vale el cuadrado de la distancia a un punto $(x_0,y_0,z_0)$ dentro de la caja $H=[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$.
Con el ordenador, encuentra la expresión de la temperatura media del sólido.

Dibuja varias secciones de la caja $H$ coloreadas según la función que asigna a cada punto $(x_0,y_0,z_0)$ de la caja el valor de la temperatura media.

Localiza el punto $(x_0,y_0,z_0)$ preciso para que esa temperatura media sea la mayor posible.

Localiza el punto $(x_0,y_0,z_0)$ preciso para que esa temperatura media sea la menor posible

Dibuja dos figuras, una con las tapas superior e inferior del sólido coloreadas según la temperatura que produce un valor medio máximo y otra con esas tapas coloreadas con la temperatura cuyo valor medio es mínimo.

Resolución del primer apartado

Escribe las líneas necesarias para

asignar los valores a $a$, $b$ y $c$ y declarar simbólicas a $x$, $y$, $z$, $x0$, $y0$ y $z0$;
calcular el volumen del sólido
calcular la integral de la función temperatura
hallar la temperatura media

y pulsa en 'Ver' cuando lo hayas hecho.

Con

a=2;b=1;c=1;
syms x y z x0 y0 z0
v= double(int(int(int(1,z,0,c+(x-a)^2+(y-b)^2),y,0,b),x,0,a));% volumen
t0= int(int(int((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2,z,0,c+(x-a)^2+(y-b)^2),y,0,b),x,0,a);%integral de la temperatura
tm0=t0/v  % expresión de la temperatura media

encontraremos la expresión $tm0$ del valor medio de $T(x,y,z)=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2$ en el sólido $S$:

tm0 =
x0^2 - (3*x0)/2 + y0^2 - (15*y0)/16 + z0^2 - (97*z0)/30 + 8719/1680

Observa que para $(x0,y0,z0)=(0,0,0)$, este valor es el obtenido en el primer ejercicio sobre este sólido.

Resolución del segundo apartado

Para dibujar unas secciones de la caja $H=[0,2]\times[0,1]\times[0,1]$ coloreadas según la función $tm0$, añadimos a las líneas anteriores las necesarias para $\ldots$ (pulsa en continuar cuando hayas escrito cada una)

genera una malla de puntos en la caja $H$, llámala $[X,Y,Z]$

[X,Y,Z]=meshgrid(0:.05:2,0:.1:1,0:.1:1);

utiliza la expresión simbólica $tm0$ para generar una matriz, $TM$, con los valores de $tm0$ sobre los puntos de la malla $[X,Y,Z]$ (recuerda el comando subs)

TM=subs(tm0,{x0 y0 z0},{X,Y,Z});

genera un vector, llámalo $seccx$, con los valores del eje $0X$ por lo que quieras pintar secciones $x$ constante; igualmente genera $seccy$ y $seccz$ para los ejes $0Y$ y $0Z$, respectivamente

por ejemplo, para que dibuje las secciones $x=.5$, $x=1$, $x=1.5$, $x=2$, $y=.2$, $y=.4$, $y=.6$, $y=.8$ y $z=.5$, pondremos

seccx = .5:.5:2; seccy = .2:.2:.8; seccz = .5;

por último, utiliza el comando slice para dibujar esas secciones coloreadas

slice(X,Y,Z,TM,seccx,seccy,seccy)

Ejecutando estas líneas a continuación de las del primer apartado, obtendremos la siguiente figura
Gráfica

Podemos girarla para ver la cara $x=0$, por ejemplo con

view([30,34])

veremos

Resolución del tercer apartado

Debemos hallar el máximo de la función $$tm_0 = x_0^2 - \frac{3}{2}x_0 + y_0^2 - \frac{15}{16}y_0 + z_0^2 - \frac{97}{30}z_0 + \frac{8719}{1680}$$ Sabemos que ese máximo se alcanza para algún $(x_0,y_0,z_0)$ en $H$ porque $tm_0$ es una función continua y $H$ es un conjunto cerrado y acotado. Así que lo más apropiado aquí es

Se podría, pero no es lo más adecuado aquí.

¿Cuál es la condición?

Sí hay una propuesta adecuada.

En efecto, podemos completar cuadrados en $tm_0$, para escribirlo como suma de tres cuadrados y una constante; inténtalo y pulsa en 'Continuar'.

Completando cuadrados, tendremos $$tm_0=\left(x_0-\frac{3}{4}\right)^2+\left(y_0-\frac{15}{32}\right)^2+\left(z_0-\frac{97}{60}\right)^2+\frac{8719}{1680}-\frac{9}{16}-\frac{15^2}{32^2}-\frac{97^2}{60^2}$$ lo que significa que $tm_0$ será máximo cuando los números $$\left|x_0-\frac{3}{4}\right| \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} \left|y_0-\frac{15}{32}\right| \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} \left|z_0-\frac{97}{60}\right|$$ sean máximos, teniendo en cuenta que $$0\leq x_0\leq 2 \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} 0\leq y_0\leq 1\hspace{.3cm},\hspace{.4cm} 0\leq z_0\leq 1$$ Localiza los valores de $x_0$, $y_0$ y $z_0$ que hacen máximos esos valores absolutos y pulsa en 'Ver'.

puesto que $\frac{3}{4}<1$, $\frac{15}{32}<1$ y $\frac{97}{60}>1$, los valores de $x_0$, $y_0$ y $z_0$ que hacen máximos esos valores absolutos y por tanto la función $tm_0$ son $$x_0=2 \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} y_0=1 \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} z_0=0$$ A continuación puedes ver varias secciones del sólido completo coloreadas segun la función temperatura $$T_0(x,y,z)=(x-2)^2+(y-1)^2+z^2$$ Gráfica

Resolución del cuarto apartado

Aprovechamos la expresión de $tm_0$ conseguida antes: $$tm_0=\left(x_0-\frac{3}{4}\right)^2+\left(y_0-\frac{15}{32}\right)^2+\left(z_0-\frac{97}{60}\right)^2+\frac{8719}{1680}-\frac{9}{16}-\frac{15^2}{32^2}-\frac{97^2}{60^2}$$ para hallar los valores de $x_0$, $y_0$ y $z_0$ que hacen mínimo $tm_0$; puesto que cero es lo menos que puede valer cada cuadrado de esa expresión, el mínimo se alcanza para

No es correcto, fíjate que $\frac{97}{60}>1$.

En efecto, el valor de $z_0$ no es correcto, pues $\frac{97}{60}>1$. El valor de $z_0$ que, sin salirnos de la caja $H$, hace mínimo $tm_0$ es $z_0=1$. Así que el punto es el de coordenadas $$x_0=\frac{3}{4} \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} y_0=\frac{15}{32} \hspace{.3cm},\hspace{.4cm} z_0=1$$ Puedes observar en las secciones que dibujaste en el segundo apartado cómo la zona que rodea este punto es la coloreada con azul más oscuro. A continuación puedes ver varias secciones del sólido completo coloreadas segun la función temperatura $$T_0(x,y,z)=(x-\frac{3}{4})^2+(y-\frac{15}{32})^2+(z-1)^2$$ Gráfica

Resolución del quinto apartado

Para hacer esas figuras, podemos generar una función. Sus variables de entrada serán $x_0$, $y_0$ y $z_0$ y generará una figura con las caras superior e inferior del sólido coloreadas según la función $$T_0(x,y,z)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$$

function tempmediasolg(x0,y0,z0)
a=2;b=1;c=1;
x=linspace(0,a,20);
y=linspace(0,b,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % malla de puntos en R
Z=c+(X-a).^2+(Y-b).^2; % valores de la z superior
T=(X-x0).^2+(Y-y0).^2+(Z-z0).^2; % valores de la temperatura en la cara superior
surf(X,Y,Z,T) % tapa superior coloreada según la temperatura
hold on
T=(X-x0).^2+(Y-y0).^2+z0^2; % valores de la temperatura en la cara inferior
surf(X,Y,zeros(size(X)),T)
hold off
shading interp
view([34,32])
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); % etiquetas para los ejes
end

Ejecutando

tempmediasolg(2,1,0)

obtendremos la siguiente figura con las caras superior e inferior del sólido coloreadas según la temperatura $$T_0(x,y,z)=(x-2)^2+(y-1)^2+z^2$$ que como sabemos es, de todas las de esa forma, la que hace máximo el valor de la temperatura media:
Gráfica

Ejecutando

tempmediasolg(3/4,15/32,1)

obtendremos la siguiente figura con las caras superior e inferior del sólido coloreadas según la temperatura $$T_0(x,y,z)=(x-\frac{3}{4})^2+(y-\frac{15}{32})^2+(z-1)^2$$ que es, de todas las de esa forma, la correspondiente al mínimo valor de la temperatura media:
Gráfica

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