Paso 1

Saber qué integral debe hacerse: qué se integra y dónde se integra. Calcular el volumen de un sólido puede hacerse con una integral doble o con una integral triple. En este caso, es bastante sencillo plantearlo como una integral doble: $$\mbox{Volumen}=\int\!\!\int_R z(x,y)\, dA$$ si $z=z(x,y)$ es la superficie que limita al sólido superiormente y $R$ es su proyección en el plano $XY$, da el valor del volumen del sólido limitado entre el plano $XY$ y $z=z(x,y)$.

Escribe la integral anterior como dos iteradas y pulsa en 'Ver'.

Paso 2

Calcular las integrales iteradas. Hazlas tú y pulsa en 'Ver'.

Resolución del segundo apartado

Recordando las interpretaciones de la integral triple, sabemos que la temperatura media se calcula dividiendo la integral de la temperatura entre el volumen del sólido.

Paso 1

Encontrar la integral de la función temperatura en el sólido. Ahora sí es imprescindible hacer una integral triple. La región de integración es $$S=\{(x,y,z) / \, 0\leq x\leq 2 ,\ 0\leq y\leq 1, \ 0\leq z\leq 1+(x-2)^2+(y-1)^2\}$$ y la función temperatura que debemos integrar es

Con

 syms  x y z
 I= int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,0,1+(x-2)^2+(y-1)^2),y,0,1),x,0,2)

obtendremos

I =8719/315

Continuar

Paso 2

Calcular la temperatura media. Este es un paso fácil, pues ya tenemos los dos datos necesarios: $$T_m=\frac{I}{\mbox{Volumen}(S)}=\frac{8719}{1680}\approx 5.1899$$ Continuar

Paso 3

Determinar el lugar geométrico de los puntos que están a esa temperatura media. Puesto que en cada punto la temperatura es $T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, los puntos a temperatura $T_m=\frac{8719}{1680}$ son $$x^2+y^2+z^2=\frac{8719}{1680}$$ es decir los puntos de $S$ que están en la esfera de centro el origen y radio $\sqrt{\frac{8719}{1680}}=2.2781$. Continuar

Resolución del tercer apartado

Para dibujar la 'tapa superior' del sólido coloreada según su temperatura y el conjunto de puntos donde la temperatura es media, podemos hacer:

• generar la malla en el rectángulo $R$

  [X,Y]=meshgrid(0:.1:2,0:.05:1);
  

• definir una matriz con los valores de la superficie sobre la malla

  Z=1+(X-2).^2+(Y-1).^2;
  

• definir una matriz con los valores de la temperatura en la superficie

  T=X.^2+Y.^2+Z.^2;
  

• dibular la superficie, debemos incluir en el cuarto argumento la matriz $T$ para que coloree la superficie según sus valores

  surf(X,Y,Z,T) % 'tapa' del sólido
  shading interp
  

• poner nombres a los ejes coordenados

  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
  

• fijar el rango para los ejes

  axis([0 2 0 1 0 6])
  

• una vez ejecutado, buscar una orientación apropiada y fijarla

  view([153,22])
  

• darle un cierto grado de transparencia para poder visualizar la otra superficie

  alpha(.6)
  

• mantener abierta la figura para dibujar en la misma ventana otra superficie

  hold on
  

• definir tm con el valor de la temperatura media

  tm=8719/1680;
  

• dibujar la superficie $z=\sqrt{tm-x^2-y^2}$, incluyendo como cuarto argumento una matriz de las mismas dimensiones que $X$ 0 $Y$ que repita en todas sus componentes el valor de la temperatura media

  surf(X,Y,sqrt(tm-X.^2-Y.^2),tm*ones(size(X)))
  shading interp
  

• 'cerrar' la figura

  hold off
  

Todas las líneas seguidas, a falta de los comentarios, resulta

[X,Y]=meshgrid(0:.1:2,0:.05:1);
Z=1+(X-2).^2+(Y-1).^2;
T=X.^2+Y.^2+Z.^2;
surf(X,Y,Z,T) % 'tapa' del sólido
shading interp
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
axis([0 2 0 1 0 6])
view([153,22])
alpha(.6)
hold on
tm=8719/1680;
surf(X,Y,sqrt(tm-X.^2-Y.^2),tm*ones(size(X)))
shading interp
hold off

y ésta es la figura que obtendremos:

Continuar

Resolución del cuarto apartado

Paso 1

Calcular el volumen. Podemos seguir el mismo procedimiento que en el primer apartado, cuidando de actualizar los valores de los límites de integración y la constante $c$ que aparece ahora en la función. Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

Paso 2

Hallar la integral de la temperatura: $$I=\int_0^a\int_0^b \int_0^{c+(x-a)^2+(y-b)^2} (x^2+y^2+z^2)\, dz\, dy\, dx$$ Para este cálculo utilizamos de nuevo el ordenador. Escribe las líneas necesarias para hallar esta integral con el paquete simbólico y pulsa en 'Ver'.

 syms  x y z a b c
 I= int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,0,c+(x-a)^2+(y-b)^2),y,0,b),x,0,a)

Paso 3

Escribir la expresión para el valor medio de la temperatura en el sólido: $$T_m=\frac{I}{\mbox{Volumen}(S)}$$ será una función de las dimensiones $a$, $b$ y $c$. Los puntos del sólido que se encuentran a esa temperatura media son los que estén en la esfera de centro el origen y radio $\sqrt{T_m}$: $$x^2+y^2+z^2=T_m$$