Condiciones suficientes de integrabilidad

$ \bullet $ Si una función $f$ es continua en un rectángulo $R$, entonces es integrable sobre $R$.

$ \bullet $ Si una función $f$ es acotada en un rectángulo $R$ y es continua en él, salvo sobre un número finito de curvas suaves contenidas en $R$, entonces es integrable sobre $R$.

Propiedades

PROPIEDAD 1 (Linealidad). La integral doble es lineal: $$\int \int_R (af(x,y) + bg(x,y)){\kern 1pt} dA = a\int \int_R f(x,y){\kern 1pt} dA + b\int \int_R g(x,y){\kern 1pt} dA$$

PROPIEDAD 2 (Aditividad del dominio de integración). La integral doble es aditiva sobre rectángulos que tengan en común como mucho un segmento de recta:$$\int \int_{{R_1} \cup {R_2}} f(x,y){\kern 1pt} dA = \int \int_{{R_1}} f(x,y){\kern 1pt} dA + \int \int_{{R_2}} f(x,y){\kern 1pt} dA\;\;,\;\;{\kern 1pt} si{\kern 1pt} \;\;{\kern 1pt} mbox{Área}{\kern 1pt} ({R_1} \cap {R_2}) = 0$$

PROPIEAD 3 (Acotación). Si $f(x,y)\leq g(x,y)$ en casi todos los puntos (es decir, en todos los puntos menos en un número finito) de $R$, entonces $$\int \int_R f(x,y){\kern 1pt} dA \le \int \int_R g(x,y){\kern 1pt} dA$$

PROPIEDAD 4 (Acotación modular). Para cualquier $f$ integrable en $R$, $$\left| {\int \int_R f(x,y){\kern 1pt} dA} \right| \le \int \int_R |f(x,y)|{\kern 1pt} dA$$