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Enunciado

Dada la ecuación lineal de segundo orden $$y''+y=2x\,\mbox{sen}\, x$$
  1. Encuentra la solución general de la homogénea asociada.
  2. Halla su solución general, utilizando el método de variación de constantes.
  3. Determina la solución que pasa por el punto $P(0,1)$, formando su recta tangente un ángulo de $3\pi/4$ radianes, en ese punto, con el eje horizontal positivo. Represéntala en el ordenador, primero para $x$ en $[-\pi/6,\pi/6]$, luego en el intervalo $[-2\pi,2\pi]$ y finalmente en $[-4\pi,4\pi]$.

Resolución del primer apartado

La ecuación homogénea asociada es $$y''_h+y_h=0$$ se trata de una ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea.

Paso 1

Escribir su ecuación característica:
$$r^2+r=0$$
Ninguna de las dos opciones es correcta.
$$r^2+1=0$$
No, fíjate bien.
Sí hay una correcta.
Esa es la ecuación característica correcta.

Paso 2

Calculamos las raíces de esta ecuación y formamos la solución general. Hazlo tú y pulsa en 'Continuar'.
Las raíces son $r_1=i$ y $r_2=-i$, luego las soluciones del sistema fundamental son $$y_1(x)=\cos x \hspace{.5cm} \mbox{e} \hspace{.5cm} y_2(x)=\mbox{sen}\, x$$ y la solución general será la familia biparamétrica $$y_h(x)=C_1\cos x+C_2\,\mbox{sen}\, x$$

Resolución del segundo apartado

La solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la homogénea y una solución particular de la completa: $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$ Del primer apartado conocemos el primer sumando, nos queda por tanto encontrar una solución particular de la completa; para este trabajo es para lo que usaremos el método de variación de constantes.

Paso 1

Planteamos la solución particular $$y_p(x)=C_1(x)\cos x+C_2(x)\,\mbox{sen}\, x$$ con la condición añadida:
$$-C_1(x)\mbox{sen}\, x+C_2(x)\cos x=0$$
$$C'_1(x)\cos x+C'_2(x)\,\mbox{sen}\, x=1$$
$$C'_1(x)\cos x+C'_2(x)\,\mbox{sen}\, x=0$$
No es esa, fíjate bien.
No es esa, fíjate bien.
En efecto, esa es la condición que va a impedir que tengamos que manejar expresiones con las derivadas segundas de $C_1(x)$ y $C_2(x)$.

Paso 2

Deriva $y_p(x)$ dos veces y haz que cumpla la ecuación diferencial. Pulsa en 'Ver' cuando termines.
Ver
$$y_p(x)=C_1(x)\cos x+C_2(x)\,\mbox{sen}\, x \hspace{.3cm} \Rightarrow \hspace{.3cm} y'_p(x)=C'_1(x)\cos x-C_1(x)\,\mbox{sen}\, x+C'_2(x)\,\mbox{sen}\, x +C_2(x) \cos x$$ pero puesto que $C'_1\cos x+C'_2\,\mbox{sen}\, x=0$, tendremos $$y'_p(x)=-C_1(x)\,\mbox{sen}\, x+C_2(x) \cos x$$ Derivando de nuevo, $$y''_p(x)=-C'_1(x)\,\mbox{sen}\, x-C_1(x)\cos x+C'_2(x) \cos x-C_2(x)\,\mbox{sen}\, x$$ Puesto que la función $y_p$ debe ser solución de la ecuación completa, $$y''_p(x)+y_p(x)=2x\,\mbox{sen}\, x \hspace{.3cm} \Rightarrow \hspace{.3cm} -C'_1(x)\,\mbox{sen}\, x+C'_2(x) \cos x=2x\,\mbox{sen}\, x$$

Paso 3

Debemos resolver el sistema $$\left\{\begin{array}{l} C'_1(x)\cos x+C'_2(x)\,\mbox{sen}\, x=0 \\ -C'_1(x)\,\mbox{sen}\, x+C'_2(x) \cos x=2x\,\mbox{sen}\, x \end{array}\right.$$ Hay muchas manera de encontrar $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$; por ejemplo podemos multiplicar la primera ecuación por $\mbox{sen}\, x$, la segunda por $\cos x$ y sumarlas; tendremos $$C'_2(x)=2x\,\mbox{sen}\, x \cos x=x\,\mbox{sen}\, 2x$$ y utilizando la primera, $$C'_1(x)=-2x\,\mbox{sen}^2x $$

Paso 4

Encontramos $C_1(x)$ y $C_2(x)$ mediante integración de sus derivadas. Para integrar $C'_1(x)$ escribimos el seno cuadrado en función del ángulo doble y aplicamos integración por partes; para encontrar $C_2(x)$ utilizamos también integración por partes. Inténtalas y pulsa en 'Ver' cuando la tengas.
Ver
$$C_1(x)=-2\int x\,\mbox{sen}^2x \, dx=-\int x(1-\cos 2x)\, dx=-\int x\, dx+\int x\cos 2x \, dx$$ Integrando por partes ($u=x$, $dv=\cos 2x\, dx$), tendremos $$C_1(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\mbox{sen}\, 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C$$ Para $C_2(x)$, $$C_2(x)=\int x\,\mbox{sen}\, 2x\, dx$$ integrando por partes ($u=x$, $dv=\mbox{sen}\, 2x\, dx$), tendremos $$C_2(x)=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2x+C$$ Las constantes de integración podemos tomarlas como cero, puesto que sólo necesitamos una función $C_1(x)$ y una función $C_2(x)$. Escribe cómo queda la solución particular de la completa y su solución general. Pulsa después en 'Continuar'.
Una solución particular de la completa es $$y_p(x)=C_1(x)\cos x+C_2(x)\,\mbox{sen}\, x=$$ $$=-\frac{x^2}{2}\cos x+\frac{x}{2}\mbox{sen}\, 2x\cos x+\frac{1}{4}\cos 2x\cos x- \frac{x}{2}\cos 2x\,\mbox{sen}\, x+\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2x\,\mbox{sen}\, x $$ pero teniendo en cuenta que $\cos 2x=\cos^2x-\mbox{sen}^2x$, $\mbox{sen}\, 2x=2\,\mbox{sen}\, x\cos x$, $\cos^2 x=1-\,\mbox{sen}^2x$, $\mbox{sen}^2x=1-\cos^2x$, $$y_p(x)=-\frac{x^2}{2}\cos x+\frac{1}{4}\cos x+\frac{1}{2}x\, \mbox{sen}\, x$$ y por tanto la solución general de la ecuación completa es $$y(x)=C_1\cos x+C_2\,\mbox{sen}\, x+\frac{x}{2}\,\mbox{sen}\, x-\frac{x^2}{2}\cos x$$ (el factor $\frac{1}{4}\cos x$ que aparece en la solución particular se engloba en $C_1\cos x$).

Resolución del tercer apartado

Se pide ahora la solución particular de la ecuación $$y''+y=2x\,\mbox{sen}\, x$$ que pasa por el punto $P(0,1)$, formando su recta tangente en ese punto un ángulo de $3\pi/4$ radianes con el eje horizontal positivo. La solución particular calculada antes no nos sirve, pues pasa por el punto $(0,1/4)$, no por el punto $(0,1)$. Pero sí sabemos que debe ser una de la familia $$y(x)=C_1\cos x+C_2\,\mbox{sen}\, x+\frac{x}{2}\,\mbox{sen}\, x-\frac{x^2}{2}\cos x$$ Empezamos imponiendo que $y(0)=1$: $$y(0)=C_1=1$$ ¿Cómo haremos para determinar el valor de $C_2$? Piénsalo y pulsa en 'Ver'.
Ver
Puesto que el ángulo entre el eje $x$ positivo y la recta tangente es $3\pi/4$, la pendiente de esa recta es $-1$, lo que significa que $y'(0)=1$; hemos de derivar la expresión de $y(x)$ e imponer que la derivada cumpla esa condición: $$y'(x)=-C_1\,\mbox{sen}\, x+C_2\cos x+\frac{1}{2}\mbox{sen}\, x+\frac{x}{2}\cos x-x\cos x+\frac{x^2}{2}\mbox{sen}\, x$$ luego $$y'(0)=C_2=-1$$ Por tanto, la solución buscada es $$y(x)=\left(1-\frac{x^2}{2}\right)\cos x+\left(\frac{x}{2}-1\right)\,\mbox{sen}\, x$$ Para representarla en el ordenador con $x$ en $[-\pi/6,\pi/6]$, pondremos 
>> x=linspace(-pi/6,pi/6);
>> plot(x,(1-x.^2/2).*cos(x)+(x/2-1).*sin(x))
>> axis equal
Pedimos igual escala en los ejes para comprobar que efectivamente la pendiente de la gráfica en el punto $P(0,1)$ es $-1$:

Gráfica

Las otras gráficas se obtienen con 
>> x=linspace(-2*pi,2*pi);
>> plot(x,(1-x.^2/2).*cos(x)+(x/2-1).*sin(x))

Gráfica

y 
>> x=linspace(-4*pi,4*pi);
>> plot(x,(1-x.^2/2).*cos(x)+(x/2-1).*sin(x))

Gráfica