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Enunciado

Considera el siguiente problema de valor inicial $$y''+t^2y'+3ty=t^3 \ \ ,\ \ y(0)=0\ \ ,\ \ y'(0)=1$$
  1. Encuentra la solución de este problema con el comando 'dsolve' en los puntos de la forma $t_k=\frac{k}{8}$, para $k$ desde $1$ hasta $8$.
  2. Halla el polinomio de Taylor de grado 11 centrado en $t=0$ de la solución de este problema:
    1. escribiendo esa solución como $y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n$
    2. mediante derivación sucesiva de la ecuación (con este método basta que hagas el polinomio de grado 7).
  3. Compara los valores obtenidos en el primer apartado con los que resultan de evaluar el polinomio de Taylor calculado en el segundo apartado.

Resolución del primer apartado

Por el teorema de existencia y unicidad de solución de un problema de valor inicial, sabemos que el problema que se considera en este ejercicio tiene una única solución. Podemos intentar encontrar esa solución con el comando 'dsolve'. No siempre este comando nos lleva a la solución. Debemos utilizarlo con la sintaxis 
sol=dsolve(' ecuación ',' condición para y ',' condición para y' ')
Después habremos de evaluar esa solución en los puntos pedidos. Para ello debes tener declarada la variable independiente como simbólica y utilizar el comando 'subs'.
Ver
Las tres líneas siguientes 
syms t
sol = dsolve('D2y +t^2*Dy+3*t*y= t^3','y(0) = 0','Dy(0)=1')
ex=double(subs(sol,t,1/8:1/8:1))
dan como resultado la expresión de la solución para cualquier valor de $t$: 
sol =
t/exp(t^3/3) - (t^5*(exp(t^3/3) + (3^(2/3)*gamma(2/3)*(-t^3)^(1/3))/3 - (3^(2/3)*igamma(2/3, -t^3/3)*(-t^3)^(1/3))/3))/(5*exp(t^3/3)) - (t*(int(((-9)^(1/3)*x^4*igamma(2/3, -x^3/3))/3, x = 0..t) + (t^4*(exp(t^3/3)*(-t^3/3)^(1/3) + igamma(1/3, -t^3/3)/3 - (2*pi*3^(1/2))/(9*gamma(2/3))))/(3*(-t^3/3)^(4/3)) - ((-9)^(1/3)*t^5*gamma(2/3))/15))/exp(t^3/3)
y un vector con los valores que toma esta solución en los ocho valores de $t$: $1/8$, $1/4$, $3/8$, ... , $7/8$ y $1$.

En algunas versiones del programa, el paquete simbólico no es capaz de encontrar la expresión de la solución y en ese caso no se podría hacer este apartado. Si te encuentras en ese caso, puedes copiar y pegar (escríbela en una sólo línea) la solución anterior y evaluarla en los valores de $t$.

Resolución del segundo apartado

En este apartado hemos de determinar el polinomio de Taylor de grado 11 de la solución $y(t)$ del problema $$y''+t^2y'+3ty=0 \ \ ,\ \ y(0)=0\ \ ,\ \ y'(0)=1$$ Si no se conociera la solución, este polinomio permitiría aproximarla en un conjunto de puntos cercanos a $t=0$: $$y(t)\approx p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\ldots +a_{10} t^{10}+a_{11}t^{11}$$

Subapartado 2a)

Podemos calcular los coeficientes, $a_n$, de este polinomio $p(t)$ ...
Derivando $p(t)$ y sustituyendo en la ecuación diferencial.
La propuesta no es correcta.
No es correcto, pues en realidad la representación de $y(x)$ como 'polinomio', tiene infinitos monomios (es la serie de Taylor), de manera que los monomios de grado superior a 11 intervendrían también ya que al derivarlos se rebajaría su grado.
En efecto, la otra propuesta no es correcta, pues en realidad la representación de $y(x)$ como 'polinomio', tiene infinitos monomios (es la serie de Taylor), de manera que los monomios de grado superior a 11 intervendrían también ya que al derivarlos se rebajaría su grado. Por eso la propuesta del enunciado de este apartado es tomar la serie completa $$y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n$$ Halla las derivadas primera y segunda de esta serie y pulsa en 'Continuar'.
Esta es una serie de potencias que debe ser convergente en un entorno de $t=0$; por tanto la derivada de la serie es la serie de las derivadas: $$y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} y'(t)=\sum_{n=1}^\infty a_n nt^{n-1} \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} y''(t)=\sum_{n=2}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}$$ Sustituyendo en la ecuación, $$\sum_{n=2}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}+\sum_{n=1}^\infty a_n nt^{n+1}+3\sum_{n=0}^\infty a_nt^{n+1}=t^3$$ Como consecuencia de esta igualdad tenemos
$a_n n(n-1)+a_n n+3a_n=0$
$a_n n(n-1)+a_n n+3a_n=0$ si $n\neq 3$, pero $a_n n(n-1)+a_n n+3a_n=1$ para $n=3$.
Esa igualdad es imposible, pues un sumatorio no puede igualarse a $t^3$.
Esa igualdad es imposible, pues no se pueden sumar sumatorios.
Ninguna de las opciones presentadas es correcta.
Antes de sacar ninguna ecuación para los $a_n$ debemos escribir la expresión como una única suma.
$a_n n(n-1)+a_n n+3a_n$ no es lo que multiplica a $t^n$, ¿por qué lo igualas a cero?
¿cómo sacas esa conclusión? $a_n n(n-1)+a_n n+3a_n$ no es lo que multiplica a $t^n$.
Un sumatorio de monomios en la variable $t$ puede igalarse a $t^3$.
Los sumatorios pueden sumarse.
Sí hay un opción correcta.
En efecto, antes de sacar ninguna ecuación para los $a_n$ debemos escribir la expresión como una única suma. Para ello seguiremos tres pasos:
  1. Sacar de los sumatorios los grados que no son comunes, para lo cual hemos de ver en qué grado empieza cada uno:
    • el sumatorio $\sum_{n=2}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}$ empieza en $t^0$
    • el sumatorio $\sum_{n=1}^\infty a_n nt^{n+1}$ empieza en $t^2$
    • el sumatorio $3\sum_{n=0}^\infty a_nt^{n+1}$ empieza en $t$
    por tanto escribimos
    • $$\sum_{n=2}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}=2a_2+6a_3t+\sum_{n=4}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}$$
    • $$3\sum_{n=0}^\infty a_nt^{n+1}=3a_0t+3\sum_{n=1}^\infty a_nt^{n+1}$$
  2. Escribir todos los sumatorios empezando en el mismo índice:
    • $$2a_2+6a_3t+\sum_{n=4}^\infty a_n n(n-1)t^{n-2}=2a_2+6a_3t+\sum_{n=2}^\infty a_{n+2} (n+2)(n+1)t^{n}$$
    • $$\sum_{n=1}^\infty a_n nt^{n+1}=\sum_{n=2}^\infty a_{n-1} (n-1)t^{n}$$
    • $$3a_0t+3\sum_{n=1}^\infty a_nt^{n+1}=3a_0t+3\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}t^{n}$$
  3. Sumar y ordenar: $$2a_2+6a_3t+\sum_{n=2}^\infty a_{n+2} (n+2)(n+1)t^{n}+\sum_{n=2}^\infty a_{n-1} (n-1)t^{n}+3a_0t+3\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}t^{n}=t^3$$ $$ \Rightarrow \hspace{.5cm} 2a_2+(6a_3+3a_0)t+ \sum_{n=2}^\infty [a_{n+2} (n+2)(n+1)+ a_{n-1} (n-1)+3a_{n-1}]t^{n}=t^3$$ o bien $$ 2a_2+3(2a_3+a_0)t+ \sum_{n=2}^\infty (n+2)[ (n+1)a_{n+2} + a_{n-1}]t^{n}=t^3$$
Ahora sí podemos igualar las componentes de la izquierda con las de la derecha (en este caso una única componente):
  • grado 0: $2a_2=0$
  • grado 1: $2a_3+a_0=0$
  • grado 2: $3a_4+a_1=0$
  • grado 3: $5(4a_5+a_2)=1$
  • grado $n>3$: $(n+1)a_{n+2}+a_{n-1}=0$
Así podremos obtener las sucesivas $a_n$ en función de $a_0$ y de $a_1$:
  • $a_2=0$
  • $a_3=-a_0/2$
  • $a_4=-a_1/3 $
  • $a_5=(1/5-a_2)/4$
  • $a_{n+2}=-a_{n-1}/(n+1) \ ,\ \ n\geq 4$
Pero ¿de dónde sacaremos $a_0$ y $a_1$? Piénsalo y pulsa en 'Ver' cuando las tengas.
Ver
Es fácil ver que al sustituir $t$ por 0 en las expresiones $$y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n \hspace{.5cm} \mbox{e} \hspace{.5cm} y'(t)=\sum_{n=1}^\infty a_n nt^{n-1}$$ e imponer las condiciones iniciales $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, se obtiene que $a_0=0$ y que $a_1=1$. ¿Puedes obtener ahora el valor de los coeficientes $a_n$ desde $a_2$ hasta $a_{11}$?
De la expresión $a_{n+2}=-a_{n-1}/(n+1)$ se sigue que el coeficiente $n$-ésimo se obtiene del $n-3$ (salvo en el caso especial $a_5$). Esto implica que
  • puesto que $a_0=0$, todos los coeficientes $a_{3n}$ serán igualmente nulos: $$a_0=0\ ,\ \ a_3=0\ ,\ \ a_6=0\ ,\ \ a_9=0$$
  • para los coeficientes $a_{3n+1}$ tendremos: $$a_1=1\ ,\ \ a_4=-\frac{a_1}{3}=-\frac{1}{3}\ ,\ \ a_7=-\frac{a_4}{6}=\frac{1}{18}\ ,\ \ a_{10}=-\frac{a_7}{9}=\frac{-1}{162}$$
  • y finalmente para los coeficientes $a_{3n+2}$ tendremos: $$a_2=0\ ,\ \ a_5=\frac{1}{20}\ ,\ \ a_8=-\frac{a_5}{7}=-\frac{1}{140}\ ,\ \ a_{11}=-\frac{a_8}{10}=\frac{1}{1400}$$
De manera que $$y(t)\approx t-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{20}+\frac{t^7}{18}-\frac{t^8}{140}-\frac{t^{10}}{162}+\frac{t^{11}}{1400}$$

Subapartado 2b)

Otra forma de llegar al mismo polinomio aproximante es utilizar la fórmula de Taylor $$y(t)\approx y(0)+y'(0)t+\frac{y''(0)}{2}t^2+\ldots +\frac{y^{(11}(0)}{11!}t^{11}$$ Para calcular las derivadas sucesivas de $y$ en $t=0$, iremos derivando la ecuación diferencial y sustituyendo por los valores de las derivadas ya conocidas. ¿Cuál es el valor de $y''(0)$? Pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$y''+t^2y'+3ty=t^3 \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} y'''+t^2y''+5ty'+3y=3t^2$$ luego para $t=0$, teniendo en cuenta que $y(0)=0$ e $y'(0)=1$, $$y'''(0)=0$$ Repite este proceso para encontrar la derivada cuarta de $y$ en $t=0$ y pulsa en 'Continuar'.
$$y'''+t^2y''+5ty'+3y=3t^2 \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} y^{(4}+t^2y'''+7ty''+8y'=6t$$ luego para $t=0$, $$y^{(4}(0)=-8$$ Repite este proceso para encontrar la derivada quinta de $y$ en $t=0$ y pulsa en 'Continuar'.
$$y^{(4}+t^2y'''+7ty''+8y'=6t \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} y^{(5}+t^2y^{(4}+9ty'''+15y''=6$$ luego para $t=0$, $$y^{(5}(0)=6$$ Repite este proceso para encontrar las derivadas sexta y séptima de $y$ en $t=0$ y pulsa en 'Continuar'.
$$y^{(5}+t^2y^{(4}+9ty'''+15y''=6 \hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm} y^{(6}+t^2y^{(5}+11ty^{(4}+24y'''=0\hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm} y^{(7}+t^2y^{(6}+13ty^{(5}+35y^{(4}=0$$ luego para $t=0$, $$y^{(6}(0)=0 \hspace{.3cm}\mbox{y} \hspace{.3cm} y^{(7}(0)=8\cdot 35$$ Parece que si hemos llegado hasta aquí es que ya sabemos cómo obtener las derivadas sucesivas de la solución de un problema de valor inicial. Así que no seguiremos hasta el orden 11. Tenemos $$y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y''(0)=0,\ y'''(0)=0,\ y^{(4}(0)=-8,\ y^{(5}(0)=6,\ y^{(6}(0)=0,\ y^{(7}(0)=8\cdot 35$$ Escribe ahora el polinomio de Taylor de $y(t)$ de grado 7 y centrado en $t=0$ y pulsa en 'Continuar'.
Utilizando las derivadas anteriores tendremos $$y(t)\approx t-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{20}+\frac{t^7}{18}$$ que efectivamente coincide con la parte del polinomio de grado 11 calculado con el otro método.

Resolución del tercer apartado

En este apartado hemos de comparar los valores que toma la solución encontrada con el comando 'dsolve' en los puntos $t=1/8$, $t=1/4$, $t=3/8$, ... , $t=7/8$ y $t=1$ con los que resultan de evaluar el polinomio $$p(t)= t-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{20}+\frac{t^7}{18}-\frac{t^8}{140}-\frac{t^{10}}{162}+\frac{t^{11}}{1400}$$ en esos mismos puntos. Para ello, al cálculo realizado en el primer apartado añadiremos las líneas con las que se evalúa $p(t)$ y se calcula la diferencia entre los valores. Inténtalo y pulsa en 'Ver'.
Ver
Con el código 
sol = dsolve('D2y +t^2*Dy+3*t*y= t^3','y(0) = 0','Dy(0)=1')
syms t
vt=1/8:1/8:1;
ex=double(subs(sol,t,vt))
aprox=vt-vt.^4/3+vt.^5/20+vt.^7/18-vt.^8/140-vt.^10/162+vt.^11/1400
diferencia=abs(ex-aprox)
obtenemos que las diferencias son 
  1.0e-003 *

    0.0000    0.0000    0.0000    0.0001    0.0010    0.0109    0.0786    0.4302
Lo que muestra que el polinomio de Talylor es una buena herramienta para conocer la solución de un problema de valor inicial, al menos en puntos cercanos al valor de $t$ donde den los datos del problema. Como se indicó antes, no siempre el comando 'dsolve' nos da la solución, así que es imprescindible contar con métodos de resolución aproximada.