Enunciado
Se considera la ecuación diferencial de segundo orden $$(4x+3)xy''-6(1+2x)y'+12y=0$$
- Encuentra su solución general sabiendo que admite soluciones polinómicas de grado 3.
- Dados $y_0$ e $y_1$ cualesquiera ¿existe una única solución de la ecuación tal que $y(0)=y_0$ e $y'(0)=y_1$?
- Expresa la solución general de la ecuación anterior en términos de $y(1)$ e $y'(1)$.
Resolución del primer apartado
Puesto que admite soluciones polinómicas de grado 3, buscamos la solución de la forma
$y=x^3$
$y=x^3+ax^2+bx+c$
$y=ax^3+bx^2+cx+d$
No, que admita soluciones polinómicas de grado 3 no quiere decir que $y=x^3$ lo sea.
Puedes buscarla así, pero esa no sería la solución general.
Sí, así es. Ahora hay que imponer que esa función $y$ sea solución, sustituyendo en la ecuación. Haz este paso y pulsa en 'Continuar'.
$$y=ax^3+bx^2+cx+d\ \ \Rightarrow\ \ y'=3ax^2+2bx+c\ \ \Rightarrow\ \ y''=6ax+2b$$
sustituyendo estas expresiones en la ecuación diferencial y agrupando términos del mismo grado,
$$(4x^2+3x)x(6ax+2b)-(6+12x)(3ax^2+2bx+c)+12(ax^3+bx^2+cx+d)=0\ \ \Rightarrow$$
$$\Rightarrow\ \ (12a-18a+6a)x^3+(4b+9a-9a-12b+6b)x^2+(3b-6b)x-3c+6d=0$$
$$\Rightarrow\ \ -2bx^2-3bx+6d-3c=0\ \ \ \Rightarrow\ \ \ b=0\ \ \mbox{y}\ \ c=2d$$
Por tanto, la solución general es $$y=ax^3+d(2x+1)$$
Así que efectivemente $y=x^3$ es solución en este caso; también es solución $y=2x+1$ y todas las soluciones son las combinaciones lineales de éstas dos.
Resolución del segundo apartado
Debemos comprobar si está garantizada la existencia de solución única dados un punto de paso y una pendiente, si la abscisa del punto de paso es $x=0$. Para ello recurrimos a la teoría sobre existencia y unicidad de solución de un p.v.i de segundo orden . En este caso $p(x)=(4x+3)x$, $q(x)=-6(1+2x)$, $g(x)=0$ son funciones continuas en $x=0$, luego se cumplen las condiciones para que exista solución única de la ecuación cumpliendo $y(0)=y_0$ e $y'(0)=y_1$, para cualesquiera $y_0$ e $y_1$.
Correcto
Incorrecto
No, no es correcto. Mira bien cómo está escrita la ecuación en la teoría.
Claro; en el teorema, el coeficiente de $y''$ es 1, luego para averiguar cuáles son las funciones $p(x)$ y $q(x)$ hemos de dividir la ecuación inicial entre el coeficiente de $y''$:
$$y''-6\frac{(1+2x)}{(4x+3)x}y'+\frac{12}{(4x+3)x}y=0$$
de manera que $$p(x)=-6\frac{(1+2x)}{(4x+3)x}\ \ ,\ \ q(x)=\frac{12}{(4x+3)x}\ \ ,\ \ g(x)=0$$
¿Se cumple la hipótesis del teorema?
No para $x_0=0$, pues las funciones $p(x)$ y $q(x)$ no son continuas en ningún intervalo que lo contenga. Así pues no está garantizada la existencia y unicidad de solución del problema con las condiciones $y(0)=y_0$ e $y'(0)=y_1$, para cualesquiera $y_0$ e $y_1$. De hecho, puesto que conocemos la solución general de la ecuación, podemos intentar hallar la o las soluciones que cumplan esas dos condiciones.
Búscalas y pulsa en 'Continuar'.
Si hacemos $x=0$ en la expresión de la solución general,
$y=ax^3+d(2x+1)$, tendremos que $y(0)=d$; si hacemos $x=0$ en la expresión de la derivada, $y'=3ax^2+2d$, se obtiene $y'(0)=2d$. Esto quiere decir que $$d=y_0\ \ \ \mbox{y}\ \ \ 2d=y_1$$
de forma que
- si $y_1\neq 2y_0$, no existe solución para el p.v.i
- si $y_1=2y_0$, la solución existe pero no es única, pues lo es cualquier función de la forma $y=ax^3+y_0(2x+1)$ para cualquier valor real $a$
Resolución del tercer apartado
En este apartado se pide escribir la solución general $$y=ax^3+d(2x+1)$$ en términos de $y(1)$ e $y'(1)$. Para ello debemos sustituir $x=1$ en la solución y en su derivada y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Hazlo y pulsa en 'Ver'.
$$y(1)=a+3d\ \ ,\ \ y'(1)=3a+2d$$ luego $a$ y $d$ son las soluciones del sistema $$\left\{\begin{array}{l}a+3d=y(1)\\ 3a+2d=y'(1)\end{array}\right.$$
Multiplicando la primera ecuación por $-3$ y sumándolas, tendremos
$$d=\frac{1}{7}[3y(1)-y'(1)]\ \ ,\ \ a=\frac{1}{7}[3y'(1)-2y(1)]$$
de forma que la solución general queda escrita de la forma $$y=\frac{1}{7}\left[(3y'(1)-2y(1))x^3+(3y(1)-y'(1))(2x+1)\right]$$