Se considera la ecuación lineal
$$y''+x^2y'-2xy=3+x$$
definida en el intervalo $(0,2)$. En cada apartado se darán unas condiciones para los extremos del intervalo; se pide encontrar los valores aproximados de la solución de la ecuación bajo esas condiciones en los nodos $x_1=0.5$, $x_2=1$ y $x_3=1.5$ utilizando el método de diferencias finitas.
$y(0)=1$ e $y(2)=-1$.
$y'(0)=1$ e $y(2)=0$.
$y(0)=1$ e $y'(2)=0$.
Resolución del primer apartado
Paso 1
El método de diferencias finitas convierte el problema diferencial en un problema algebraico, pues las aproximaciones buscadas
$$w_k=y(x_k)$$ serán las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineal. En este caso
se nos pide la aproximación de la solución en los puntos
$$x_1=\frac{1}{2} \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_2=1 \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_3=\frac{3}{2}$$
luego el número de puntos intermedios mínimo es $N=3$ y el valor máximo del paso es $h=1/2$.
Sustituye el valor de $h$ en la siguiente expresión:
$$\left(\frac{1}{h^2}-\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k-1}+\left(\frac{-2}{h^2}+q(x_k)\right)w_k+
\left(\frac{1}{h^2}+\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, 3$$ y pulsa en 'Ver'.
Ver
Para $h=1/2$, la expresión anterior es
$$(4-p(x_k))w_{k-1}+(-8+q(x_k))w_k+(4+p(x_k))w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, 3$$
las funciones coeficientes, $p$ y $q$, y término independiente, $g$, son
$$p(x)=x^2 \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} q(x)=-2x \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} g(x)=3+x$$
Por comodidad, podemos generar una tabla con los valores de estas funciones en los puntos $x_k$:
$$x_1=1/2$$
$$x_2=1$$
$$x_3=3/2$$
$$p(x_k)$$
$$1/4$$
$$1$$
$$9/4$$
$$q(x_k)$$
$$-1$$
$$-2$$
$$-3$$
$$g(x_k)$$
$$7/2$$
$$4$$
$$9/2$$
Ahora debemos generar las tres ecuaciones que se obtienen con $k=1$, $k=2$ y $k=3$. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
Para $k=1$: $$\frac{15}{4}w_0-9w_1+\frac{17}{4}w_2=\frac{7}{2}$$
Para $k=2$: $$5w_1-10w_2+5w_3=4$$
Para $k=3$: $$\frac{7}{4}w_2-11w_3+\frac{25}{4}w_4=\frac{9}{2}$$
Pero puesto que $w_0=y(0)=1$ y $w_4=y(2)=-1$, el sistema de ecuaciones resulta
$$\left\{\begin{array}{l} -36w_1+17w_2=-1 \\ 3w_1-10w_2+5w_3=4 \\ 7w_2-44w_3=43 \end{array}\right.$$
Podemos resolver este sistema a mano o utilizando el ordenador; con
Puedes comprobar este resultado con la demo llamada 'diferfinita', disponible en ***********.
Con esta demo también podemos tomar otro número de puntos intermedios, por ejemplo, con $N=7$ se obtienen aproximaciones para valores de $x$ entre 0 y 2 con salto $1/4$; entre ellos se encuentran los tres $x_k$ de antes: $0.5$, $1$ y $1.5$, luego podemos comprobar cómo se modifica la aproximación:
$$y(0.5)\approx -0.4786\hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1)\approx -1.1004 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1.5)\approx -1.1412$$
Con $N=15$, se tendría
$$y(0.5)\approx -0.4718\hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1)\approx -1.0931 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1.5)\approx -1.1375$$
Resolución del segundo apartado
En este apartado debemos aproximar la solución del problema
$$y''+x^2y'-2xy=3+x \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} y'(0)=1\hspace{.3cm},\hspace{.3cm} y(2)=-1$$
en los mismos puntos:
$$x_1=\frac{1}{2} \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_2=1 \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_3=\frac{3}{2}$$
Por tanto, el valor de $h$ es el mismo que en el apartado anterior, luego la expresión que relaciona $w_{k-1}$, $w_k$ y $w_{k+1}$ con $p(x_k)$, $q(x_k)$ y $g(x_k)$ es la misma:
$$(4-p(x_k))w_{k-1}+(-8+q(x_k))w_k+(4+p(x_k))w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, 3$$
La diferencia ahora está en que cuando en esa expresión tomemos $k=1$, en el primer sumando tendremos $w_0$, que no es conocido. El número de incógitas es ahora $4$: $w_0$, $w_1$, $w_2$ y $w_3$. Así pues necesitamos también una ecuación más, que será la correspondiente a $k=0$. Puedes consultar en 'método de diferencias finitas para un problema mixto cómo obtener ese sistema. Inténtalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Como se indica en la teoría, tomaremos la aproximación
$$y'(0)\approx \frac{w_1-w_{-1}}{2h}$$
de donde $$w_{-1}\approx w_1-1$$
Puesto que para $k=0$, la ecuación es
$$(4-p(0))w_{-1}+(-8+q(0))w_0+(4+p(0))w_1=g(0)$$
con $p(0)=0$, $q(0)=0$ y $g(0)=3$,
$$4w_{-1}-8w_0+4w_1=3$$
la relación entre $w_{-1}$ y $w_1$ supone que
$$4w_1-4-8w_0+4w_1=3$$
o bien
$$-8w_0+8w_1=7$$
Con esto el sistema completo resulta ser
$$\left\{\begin{array}{l} -8w_0+8w_1=7 \\ 15w_0-36w_1+17w_2=14 \\ 3w_1-10w_2+5w_3=4 \\ 7w_2-44w_3=43 \end{array}\right.$$
Resuélvelo en el ordenador y pulsa en 'Continuar'.
No es correcto, mira quiénes son las incógnitas de nuestro sistema.
Sí hay una correcta.
En efecto, el primer número, $-3.6913$, es la aproximación de $y(0)$.
También en este caso podemos observar cómo cambian estas aproximaciones cuando dividimos el paso por 2; por ejemplo para $N=7$, se obtiene
$$y(0.5)\approx -2.7514 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1)\approx -1.8742 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1.5)\approx -1.2861$$
y para $N=15$,
$$y(0.5)\approx -2.7357 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1)\approx -1.872 \hspace{.5cm}, \hspace{.5cm}
y(1.5)\approx -1.2882 $$
Resolución del tercer apartado
En este apartado debemos estimar la solución del problema
$$y''+x^2y'-2xy=3+x \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} y(0)=1\hspace{.3cm},\hspace{.3cm} y'(2)=-1$$
en los mismos puntos:
$$x_1=\frac{1}{2} \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_2=1 \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} x_3=\frac{3}{2}$$
El valor de $h$ es el mismo que en los apartados anteriores, luego la expresión que relaciona $w_{k-1}$, $w_k$ y $w_{k+1}$ con $p(x_k)$, $q(x_k)$ y $g(x_k)$ es la misma:
$$(4-p(x_k))w_{k-1}+(-8+q(x_k))w_k+(4+p(x_k))w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, 3$$
En este caso el valor $w_0=y(0)$ es conocido, pero no el valor $w_4$. Así el número de incógitas será cuatro: $w_1$, $w_2$, $w_3$ y $w_4$. Necesitamos por tanto cuatro ecuaciones, que serán las correspondientes a $k=1$ hasta $k=4$. Puedes consultar en 'método de diferencias finitas para un problema mixto cómo obtener ese sistema. Inténtalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Las ecuaciones para $k=1$ y $k=2$ son las mismas que en el primer apartado.
La ecuación para $k=3$ también es la misma, salvo que obviamente no sustituiremos el valor de $w_4$ como se hacía en aquel caso, sino que permanecerá como incógnita
Con $k=4$: $$(4-p(2))w_3+(-8+q(2))w_4+(4+p(2))w_5=g(2)$$
sustituyendo $p(2)=4$, $q(2)=-4$ y $g(2)=5$,
$$-12w_4+8w_5=5$$
El valor $w_5$ sería la aproximación de $y(x)$ en $x=2.5$; para no incorporar una nueva incógnita, debemos escribirla en función de las anteriores. Para ello utilizamos que
$$y'(2)\approx \frac{w_5-w_3}{2h} \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{w_5-w_3}{2h}\approx 1$$
o bien $$w_5\approx w_3-1$$
Asi que
$$-12w_4+8w_5=5 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} -12w_4+8(w_3-1)=5 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} 8w_3-12w_4=13$$
El sistema por tanto es
$$\left\{\begin{array}{l} -36w_1+17w_2=7 \\ 3w_1-10w_2+5w_3=4 \\ 7w_2-44w_3+25w_4=18
\\ 8w_3-12w_4=13 \end{array}\right.$$