Método de diferencias finitas para p.v.f.,caso lineal

La idea de este método es sustituir las derivadas por un cociente de diferencias y resolver el sistema algebraico lineal al que esta sustitución da lugar.

Consideremos el problema lineal $$\left\{\begin{array}{ll}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=g(x) \ , &a<x<b \\ y(a)=y_0 \ ,\ y(b)=y_1\end{array}\right.$$ El objetivo es encontrar los valores aproximados de la solución en $N$ puntos intermedios a $a$ y $b$: $x_0=a<x_1<x_2< \ldots < x_N< x_{N+1}=b$; $$x_k=a+kh\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N \hspace{1cm} \mbox{siendo} \hspace{1cm} h=\frac{b-a}{N+1}$$ Llamamos $w_k$ al valor aproximado de $y(x_k)$. Utilizando la serie de Taylor de $y(x)$ centrada en $x_k$, se obtienen las siguientes aproximaciones para $y'(x_k)$ e $y''(x_k)$: $$y'(x_k)\simeq \frac{1}{2h}(w_{k+1}-w_{k-1}) \hspace{.5cm},\hspace{.5cm} y''(x_k)\simeq \frac{1}{h^2}(w_{k+1}-2w_k+w_{k-1})$$ Puesto que $y(x)$ es solución, para cada $k$, se cumple $$y''(x_k)+p(x_k)y'(x_k)+q(x_k)y(x_k)=g(x_k)$$ y sustituyendo aquí las aproximaciones anteriores, se obtiene $$\left(\frac{1}{h^2}-\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k-1}+\left(\frac{-2}{h^2}+q(x_k)\right)w_k+ \left(\frac{1}{h^2}+\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$ es decir, un sistema algebraico lineal de dimensión $N$ en las incógnitas $w_1$, $w_2$, $\ldots$, $w_N$; debe tenerse en cuenta que $w_0=y(a)$ y $w_{N+1}=y(b)$ son conocidos.