En este caso el factor integrante es $\mu(x)=e^x$ y por tanto la solución cumple que $$e^xy=\int (2x+x^2)e^x\, dx$$ Integrando por partes $x^2e^x$, $$\int x^2e^x=x^2e^x-2\int xe^x\, dx$$ de donde $$e^x y=x^2e^x+C$$ y así la solución general es $$y=x^2+Ce^{-x}$$ Continuar

Imponiendo que $y=x^2+Ce^{-x}$ pase por $(0,0)$: $$y(0)=C=0 \hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm}y=x^2$$ A la figura con la gráfica de esta solución (en azul) le podemos añadir la curva formada por los puntos del plano donde la primera derivada de las soluciones es nula ($y=2x+x^2$ es la isoclina cero, en rojo) y la curva formada por los puntos del plano donde la segunda derivada es nula ($y=x^2-2$, en verde):

% curva solución pasando por (0,0), la roja es la iso. 0 y la verde y''=0
x=-3:.05:3;
plot(x,x.^2,x,2*x+x.^2,'--r',x,x.^2-2,'--g')
grid on

Podemos observar que esta solución ($y=x^2$) es decreciente hasta que se corta con la isoclina cero (donde alcanza su mínimo) y que es siempre cóncava (está en la región $y>x^2-2$) Continuar

% curva solución pasando por (1,0), la roja es la iso. 0 y la verde y''=0
x=-2:.05:2;
plot(x,x.^2-exp(1-x),x,2*x+x.^2,'--r',x,x.^2-2,'--g')
grid on

Observamos que esta solución, $y=x^2-e^{1-x}$ es siempre creciente (está en la región $y<2x+x^2$, donde la primera derivada de las soluciones es positiva) y tiene un punto de inflexión cuando corta a $y=x^2-2$ (ya que esta curva es el lugar geométrico de los puntos donde se anula la derivada segunda de las soluciones). Continuar

No, esa no es la opción correcta. Elige de nuevo

Hay una opción correcta. Elige de nuevo

En efecto, la idea es construir una solución particular que pase por un punto del lugar geométrico donde las soluciones alcancen sus máximos. Puesto que la ecuación establece que $y'+y=2x+x^2$, los puntos extremos se alcanzan sobre la curva $y=2x+x^2$. Para buscar dónde se alcanzan los máximos, podemos calcular la segunda derivada de las soluciones e imponer que sea negativa. Inténtalo y pulsa en 'Continuar' cuando lo tengas. Continuar

Si tomas $x=-2$, el valor de la segunda componente no puede ser 1 si quieres que este punto esté en la parábola $y=2x+x^2$, que es donde se alcanzan los extremos. Elige de nuevo

Esta opción es correcta, pero hay otra mejor. Elige de nuevo

Esta opción es correcta, pero hay otra mejor. Elige de nuevo

Sí hay una correcta. Elige de nuevo

En efecto, puede servirnos tanto la curva solución que pasa por $(-2,0)$ como la que pasa por $(-3,3)$, pues ambos son puntos de $y=2x+x^2$ con $x<-1$; podríamos tomar cualquiera que pase por un punto de la forma $(x,2x+x^2)$ con $x<-1$. Si elegimos la que pasa por $(-2,0)$, teniendo en cuenta que la solución general es $y=x^2+Ce^{-x}$, $$y(-2)=4+Ce^2=0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} C=-4e^{-2}\hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=x^2-4e^{-(2+x)}$$ Obviamente el máximo se alcanzará en $x=-2$ y su valor será $0$.

Escribe el código para representarla en el intervalo $[-3,3]$ con el ordenador y pulsa en 'Continuar'. Continuar

Puesto que la solución general es $y=x^2+Ce^{-x}$, $$y(-1)=1+Ce=-1 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} C=-2e^{-1}\hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=x^2-2e^{-(1+x)}$$

% curva solución pasando por (-1,-1), la roja es la iso. 0 y la verde y''=0
x=-3:.05:3;
plot(x,x.^2-2*exp(-(1+x)),x,2*x+x.^2,'--r',x,x.^2-2,'--g')
grid on

Observamos que esta solución, $y=x^2-2e^{-(1+x)}$, es siempre creciente (está en la región $y<2x+x^2$, donde la primera derivada de las soluciones es positiva). En el punto donde la primera derivada es nula no se alcanza extremo porque también se anula la segunda derivada, de forma que ahí presenta un punto de inflexión.