Resolución ecuación lineal primer orden mediante factor integrante
Una
e.d.o. lineal de primer orden en $y(x)$ es de la forma $$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$
El siguiente método conduce a la solución analítica de una ecuación de esta forma utilizando un factor integrante:
- Hallar la primitiva del coeficiente $p(x)$: $$P(x)=\int p(x)\, dx$$
el factor integrante es $$\mu(x)=e^{P(x)}$$
- Multiplicar la ecuación por el factor $\mu(x)$:
$$[y'(x)+p(x)y(x)]\mu(x)=q(x)\mu(x)$$
- Observar que esta expresión se puede escribir como
$$\frac{d}{dx}[y(x)\mu(x)]=q(x)\mu(x)$$
- Por tanto se cumple que
$$y(x)\mu(x)=\int q(x)\mu(x)\, dx$$ de donde
$$y(x)=e^{-P(x)}\int q(x)e^{P(x)}\, dx$$