Para resolver el problema de valor inicial $$\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{k}\right)y\ \ ,\ \ y(0)=y_0$$
donde $k$ y $r$ son constantes , $y_0\neq 0$, $y_0\neq k$, empezaremos encontrando la solución general de la ecuación; ésta puede hallarse al menos de dos maneras
mediante separación de variables,
mediante el cambio de variable $z=\frac{1}{y}$, que transforma la ecuación en lineal.
Sigue los dos métodos, comprobando que se llega a la misma solución.
Resolución mediante separación de variables
La separación de variables consiste en dejar en un miembro de la ecuación todos los términos que dependen de una variable y en el otro miembro lo que depende de la otra. Separa las variables para esta ecuación y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\frac{k}{(k-y)y}\, dy=r\, dt\hspace{1cm}\mbox{o bien}\hspace{1cm} y=k\hspace{1cm} \mbox{o bien}\hspace{1cm} y=0$$
Las funciones constantes $y=k$ e $y=0$ son soluciones de la ecuación, pero no pueden serlo del problema de valor inicial ya que $y_0\neq k$ e $y_0\neq 0$.
El siguiente paso por tanto es integrar en $\frac{k}{(k-y)y}\, dy=r\, dt$ para hallar la solución general; el resultado es
ninguna de las opciones propuestas es correcta;
$y(k-y)=Ce^{rt}$, siendo $C$ cualquier real no nulo
$\frac{y}{k-y}=Ce^{rt}$, siendo $C$ cualquier real no nulo
Integra y opera bien, hay una correcta.
Revisa las cuentas, esa no es la respuesta correcta.
En efecto, ése es el resultado, ya que de la descomposición $$\frac{k}{(k-y)y}=\frac{1}{k-y}+\frac{1}{y}$$ se deduce que
$$-\log|k-y|+\log|y|=rt+C_1$$ o bien $$\left|\frac{y}{k-y}\right|=C_2e^{rt}$$ de donde obtendremos el resultado propuesto.
Por último debemos encontrar la forma de la solución particular correpondiente a la condición $y(0)=y_0$. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'
Ver
$$y(0)=y_0 \ \ \Rightarrow\ \ \frac{y_0}{k-y_0}=C$$ luego la solución buscada es $$\frac{y}{k-y}=\frac{y_0}{k-y_0}e^{rt}$$
Resolución mediante un cambio de variable
El primer paso es escribir la ecuación $\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{x}\right)y$ en términos de la variable $z$, siendo $z=\frac{1}{y}$. Para ello debes expresar la derivada de $y$ respecto de $x$ en términos de la variable de $z$ respecto de $x$ y sustituir en la ecuación.
El resultado es $\frac{dz}{dt}=\frac{r}{z}\left(1-\frac{1}{kz}\right)$
El resultado no es el propuesto en la otra opción.
No, ten en cuenta que $\frac{dy}{dt}\neq \frac{dz}{dt}$.
En efecto,
$$y=\frac{1}{z}\ \ \Rightarrow\ \ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dt}=\frac{-1}{z^2}\frac{dz}{dt}$$
que sustituido en la ecuación diferencial inicial resulta
$$\frac{dz}{dt}=rz\left(\frac{1}{kz}-1\right)$$ o bien $$\frac{dz}{dt}+rz=\frac{r}{k}$$
que es una ecuación lineal.
El siguiente paso es la resolución de esa ecuación lineal. Podemos utilizar el método del factor integrante, construyendo el factor $\mu(t)=e^{P(t)}$, con $P(t)$ una primitiva del coeficiente de $z$ en la ecuación. Encuentra la solución de la ecuación y pulsa en 'Ver'.
Ver
El factor integrante es $\mu(t)=e^{rt}$, empezamos multiplicando por él toda la ecuación,
$$e^{rt}\left[\frac{dz}{dt}+rz\right]=\frac{r}{k}e^{rt}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{d}{dt}(e^{rt}z)=\frac{r}{k}e^{rt}$$
de donde, integrando $$e^{rt}z=\frac{1}{k}e^{rt}+C$$ o bien $$z=\frac{1}{k}+Ce^{-rt}$$
El proceso termina deshaciendo el cambio de variable, $z=\frac{1}{y}$, obteniéndose
$\frac{1}{y-k}=Ce^{-rt}$
$\frac{ky}{k-y}=Ce^{-rt}$
ninguna de las opciones propuestas es correcta;
Revisa las cuentas, ésa no es la respuesta correcta.
Revisa las cuentas, esa no es la respuesta correcta.
En efecto, la solución general que se obtiene al deshacer el cambio no es ninguna de las dos propuestas:
$$z=\frac{1}{k}+Ce^{-rt}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{y}=\frac{1}{k}+Ce^{-rt}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{k-y}{ky}=Ce^{-rt}\ \ \Rightarrow \ \ \frac{ky}{k-y}=C^{-1}e^{rt}$$
Hemos llegado así a la misma solución que la obtenida mediante de separación de variables, pero con menos trabajo de cálculo de primitivas.