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Enunciado

Encuentra la transformada inversa de $$F(s)=\frac{s}{s+1}$$ sabiendo que ${\cal L}[\delta(t)]=1$ y ${\cal L}[\delta'(t)]=s$

  1. Una opción para hallar esa transformada inversa es escribir $$F(s)=\frac{s}{s+1}=\frac{s+1}{s+1}-\frac{1}{s+1}=1-\frac{1}{s+1}$$ y aplicar la linealidad, es decir, $${\cal L}^{-1}[F(s)]={\cal L}^{-1}[1]-{\cal L}^{-1}[\frac{1}{s+1}]$$ haciendo uso de parte de la información del enunciado y de la tabla básica de transformadas, se tendrá $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\delta (t)-e^{-t}$$ Esto es correcto, pues la transformada de $\delta(t)$ es 1 y la de $-e^{-t}$ es $-1/(s+1)$ y la suma de estas dos funciones es $F(s)$.
  2. Otra opción para encontrar esta inversa es escribir $F(s)$ como producto de dos funciones cuyas inversas sean conocidas y aplicar la propiedad de la transformada de la convolución: $$F(s)=s\frac{1}{s+1}={\cal L}[\delta'(t)]{\cal L}[e^{-t}]={\cal L}[\delta'(t)*e^{-t}]$$ es decir, $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\delta'(t)*e^{-t}$$ y utilizando la propiedad de la convolución de una función ordinaria ($e^{-t}$) con una generalizada ($\delta'(t)$), tendremos $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\frac{d}{dt}(e^{-t})=-e^{-t}$$ Pero si hacemos la transformada de esta última función, obtendremos $1/(s+1)$ y no $F(s)=s/(s+1)$
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El problema está al hacer la derivada de $e^{-t}$, pues en realidad no es esa función definida en todo el eje real la que debe derivarse, sino la función que vale $e^{-t}$ en $t$ positivo y cero en el resto, es decir, debe derivarse la función $e^{-t}U(t)$. Se trata de la derivada de un producto y debe tenerse en cuenta que la derivada de $U(t)$ es $\delta(t)$: $$\frac{d}{dt}(e^{-t}U(t))=-e^{-t}U(t)+e^{-t}\delta(t)$$ Aplicando las reglas de la multiplicación de una función ordinaria por la $\delta$, tenemos $$\frac{d}{dt}(e^{-t}U(t))=-e^{-t}U(t)+\delta(t)$$ que es la transformada inversa pedida.

El error cometido en la resolución presentada en la segunda opción está ocasionado por la costumbre de no incluir en la expresión de las funciones el escalón, $U(t)$, pues en el contexto de las transformadas de Laplace no se considera la definición de las funciones en el semieje negativo.