Ejercicios preliminares e instantáneos. Funciones de varias variables

Una función de dos variables asigna a cada $(x,y)$ un número real único, así que se expresa con la ecuación $z=f(x,y)$. Una superficie puede ser la gráfica de una función de dos variables en un cierto dominio, pero también es el conjunto de puntos que satisfacen una expresión implícita, del tipo $F(x,y,z)=0$.
Ver solución

Son funciones de $x$ e $y$ las expresiones de los apartados c), d) y f). Son ecuaciones de superficies todas menos la expresión del apartado b), que no es una ecuación.

1. $x+y=k$: es una familia de rectas, que se caracterizan por tener pendiente 1; podemos tomar por ejemplo $$x+y=-2\ ,\ \ x+y=-1\ ,\ \ x+y=0\ ,\ \ x+y=1\ ,\ \ x+y=2$$ Para dibujarlas en el ordenador generamos una matriz; en cada columna se guardan los valores de la recta correspondiente a un valor de $k$:

   	    x=-3:.1:3;
   		k=-2:2;
   		for n=1:5
   		y(:,n)=k(n)-x;
   		end
   		plot(x,y)
   		title('muestra de x+y=k')
   		

   
2. $x^2+y^2=k$: es la familia de circunferencias de centro $(0,0)$; tomaremos distintos radios, por ejemplo $$x^2+y^2=1\ ,\ \ x^2+y^2=4\ ,\ \ x^2+y^2=9\ ,\ \ x^2+y^2=16\ ,\ \ x^2+y^2=25$$

   				  t=0:pi/40:2*pi;
   				  for k=1:5
   				  x(:,k)= k*cos(t);
   				  y(:,k)=k*sin(t);
   				  end
   				  plot(x,y)
   				  title('muestra de x^2+y^2=k^2')
   				  axis equal
   			

   
3. $y=kx$: es la familia de rectas que pasan por $(0,0)$; podemos dibujar por ejemplo $$y=-2x\ ,\ \ y=-x\ ,\ \ y=0\ ,\ \ y=x\ ,\ \ y=2x$$

   		  				x=-3:.1:3 ;
   						k=-2:2;
   						for n=1:5
   						y(n,:)=k(n)*x;
   						end
   						plot(x,y)
   						title('muestra de y=kx')
   		  			

   
4. $x^2+k=y$: es la familia de parábolas paralelas a $y=x^2$; podemos dibujar $$y=x^2-4\ ,\ \ y=x^2-2\ ,\ \ y=x^2\ ,\ \ y=x^2+2\ ,\ \ y=x^2+4$$

   		  				  x=-3:.1:3 ;
   						  k=-4:2:4;
   						  for n=1:5
   						  y(n,:)=k(n)+x.^2;
   						  end
   						  plot(x,y)
   						  title('muestra de y=k+x^2')
   		  			

   

Recuerda que las curvas de nivel de la superficie $z=f(x,y)$ es la familia de curvas $f(x,y)=k$, variando $k$ en el rango de $f(x,y)$.
Ver solución

1. $x+y=k$ son las curvas de nivel de $z=x+y$:
2. $x^2+y^2=k$ son las curvas de nivel, por ejemplo, de $z=x^2+y^2$; en este caso, la constante $k$ no puede ser negativa:
3. $y=kx$ son las curvas de nivel de $z=y/x$:
4. $x^2+k=y$ son las curvas de nivel de $z=y-x^2$:

1. La superficie a. es $z=-x+y-2$, sus curvas de nivel son las del número 3.
2. La superficie es $z=x^2+y^2$, sus curvas de nivel son las del número 5.
3. La superficie es $z=e^{-(x^2+y^2)}$, sus curvas de nivel son las del número 8.
4. La superficie es $z=\mbox{sen}\, \sqrt{(x^2+y^2)}$, sus curvas de nivel son las del número 1.
5. La superficie es $z=y^2e^{-(x^2+y^2)}$, sus curvas de nivel son las del número 2.
6. La superficie es $z=y^2-x^2$, sus curvas de nivel son las del número 7.
7. La superficie es $z=x^4+y^4-3x^2y^2$, sus curvas de nivel son las del número 4.
8. La superficie es $z=x^4+y^4-x^2y^2$, sus curvas de nivel son las del número 6.

Para encontrar la curva de nivel que pasa por el punto $(x_0,y_0)$, debemos conocer cuál es el valor $z$ correspondiente, es decir, $z_0=f(x_0,y_0)$.
Ver solución

1. la curva de nivel de $z=x^2+y^2$ que pasa por el punto $P(1,-1)$ es $x^2+y^2=2$; es una circunferencia, que podemos dibujar a mano muy fácilmente. En el ordenador dibujamos una poción de superficie con unas curvas de contorno (figura de la izquierda) y una muestra de curvas de nivel (figura de la derecha), entre ellas la que se ha determinado en este apartado:
   

   		   [X,Y]=meshgrid(-2:.1:2);
   		   Z=X.^2+Y.^2;
   		   subplot(1,2,1)
   		   contour3(X,Y,Z,15)
   		   surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.9 .9 .9],'FaceColor','none')
   		   hold on
   		   plot3(1,-1,2,'*')
   		   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   		   grid off
   		   hold off
   		   subplot(1,2,2)
   		   contour(X,Y,Z,15)
   		   hold on
   		   plot(1,-1,'or')
   		   xlabel('x');ylabel('y');
   		   hold off
   		   axis equal
   			

2. la curva de nivel de $z=y^2-x^2$ que pasa por el punto $P(0,2)$ es $y^2-x^2=4$, una hipérbola:
   
3. la curva de nivel de $z=\sqrt{x^2+y^2}$ que pasa por el punto $P(1,1)$ es $x^2+y^2=2$, de nuevo una circunferencia:
   
4. la curva de nivel de $z=\cos(x^2+y^2)$ que pasa por el punto $P\left(\sqrt{\frac{\pi}{4}},\sqrt{\frac{\pi}{4}}\right)$ es $x^2+y^2=\frac{\pi}{2}$:
   

Por ejemplo, la curva intersección de la superficie $z=e^{x+y}$ con el plano $x=1$ es la curva $z=e^{y+1}$ en el plano $x=1$; para dibujarla en el ordenador podemos poner

		[X,Y]=meshgrid(1,-1:.1:1);
		Z=exp(X+Y);
		plot3(X,Y,Z)
		

Si quisiéramos dibujar las curvas intersección de $z=e^{x+y}$ con los planos $x=-3$, $x=-2$, $x=-1$, $x=0$, $x=1$, $x=2$ y $x=3$, pondríamos

				[X,Y]=meshgrid(-3:3,-1:.1:1);
				Z=exp(X+Y);
				plot3(X,Y,Z)
		

Ver solución

1. $z=4-x^2-y^2$,
   • corte con $x=\pm 3$: $z=-5-y^2$
   • corte con $x=\pm 2$: $z=-y^2$
   • corte con $x=\pm 1$: $z=3-y^2$
   • corte con $x=0$: $z=4-y^2$
   

   [X,Y]=meshgrid(-3:3,-3:.1:3);
   Z=4-(X.^2+Y.^2);
   plot3(X,Y,Z)
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'XTick',-3:3)
   grid on
   

2. $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$,
   • corte con $x=\pm 3/2$: $z=\sqrt{\frac{7}{4}-y^2}$
   • corte con $x=\pm 1$: $z=\sqrt{3-y^2}$
   • corte con $x=\pm 1/2$: $z=\sqrt{\frac{15}{4}-y^2}$
   • corte con $x=0$: $z=\sqrt{4-y^2}$
   

   [X,Y]=meshgrid(-3/2:1/2:3/2,-3/2:.1:3/2);
   Z=sqrt(4-(X.^2+Y.^2));
   plot3(X,Y,Z)
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'XTick',-3/2:1/2:3/2)
   grid on
   axis equal
   

3. $z=\cos\sqrt{x^2+y^2}$
   • corte con $x=\pm 2$: $z=\cos\sqrt{4+y^2}$
   • corte con $x=\pm 1$: $z=\cos\sqrt{1+y^2}$
   • corte con $x=0$: $z=\cos|y|$
   

   [X,Y]=meshgrid(-2:2,-2:.05:2);
   Z=cos(sqrt(X.^2+Y.^2));
   plot3(X,Y,Z)
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'XTick',-2:2)
   grid on
   axis equal
   

4. $z=3(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}$
   • corte con $x=\pm 1$: $z=3(1+y^2)e^{-(1+y^2)}$
   • corte con $x=0$: $z=3y^2e^{-y^2}$
   

   [X,Y]=meshgrid(-1:1,-2:.05:2);
   Z=3*(X.^2+Y.^2).*exp(-X.^2-Y.^2);
   plot3(X,Y,Z)
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'XTick',-1:1)
   grid on
   axis equal
   

1. $z=4-2x^2-y^2$
   • corte con $y=\pm 3$: $z=-5-2x^2$
   • corte con $y=\pm 2$: $z=-2x^2$
   • corte con $y=\pm 1$: $z=3-2x^2$
   • corte con $y=0$: $z=4-2x^2$
   

   [X,Y]=meshgrid(-3:.1:3,-3:3);
   Z=4-(2*X.^2+Y.^2);
   plot3(X',Y',Z')
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'YTick',-3:3)
   grid on
   

2. $z=\sqrt{4-2x^2-y^2}$
   • corte con $y=\pm 3/2$: $z=\sqrt{\frac{7}{4}-2x^2}$
   • corte con $y=\pm 1$: $z=\sqrt{3-2x^2}$
   • corte con $y=\pm 1/2$: $z=\sqrt{\frac{15}{4}-2x^2}$
   

   		[X,Y]=meshgrid(-sqrt(2):.1:sqrt(2),-3/2:1/2:3/2);
   		Z=sqrt(4-(2*X.^2+Y.^2));
   		plot3(X',Y',Z')
   		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   		set(gca,'YTick',-3/2:1/2:3/2)
   		grid on
   		axis equal
   

3. $z=4-3x+2y$
   • corte con $y=-3$: $z=-2-3x$
   • corte con $y=-2$: $z=-3x$
   • corte con $y=-1$: $z=2-3x$
   • corte con $y=0$: $z=4-3x$
   • corte con $y=1$: $z=6-3x$
   • corte con $y=2$: $z=8-3x$
   • corte con $y=3$: $z=10-3x$
   

   		[X,Y]=meshgrid(-3:.1:3,-3:3);
   		Z=4-3*X+2*Y;
   		plot3(X',Y',Z')
   		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   		set(gca,'YTick',-3:3)
   		grid on
   

4. $z=6y^3e^{-(x^2+y^2)}$
   • corte con $y=-2$: $z=-48e^{-(x^2+4)}$
   • corte con $y=-1$: $z=-6e^{-(x^2+1)}$
   • corte con $y=0$: $z=0$
   • corte con $y=1$: $z=6e^{-(x^2+1)}$
   • corte con $y=2$: $z=48e^{-(x^2+4)}$
   

   [X,Y]=meshgrid(-2:.05:2,-2:2);
   Z=6*Y.^3.*exp(-X.^2-Y.^2);
   plot3(X',Y',Z')
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   set(gca,'YTick',-2:2)
   grid on
   axis equal
   

1. curva dentro de $z=1+x-y$ paralela al plano $XZ$ pasando por el punto $P(0,1,0)$: $$z=x \ \ \ \mbox{en}\ \ \ y=1$$

   [X,Y]=meshgrid(-2:2,0:2);
   Z=1+X-Y;
   surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.5 .5 .5],'FaceColor','none')
   [X,Y]=meshgrid(-2:2,1);
   Z=1+X-Y;
   hold on
   plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
   plot3(0,1,0,'o')
   [X,Z]=meshgrid(-2:2,-4:2:4);
   surface(X,ones(size(X)),Z,'EdgeColor',[1 .2 .2],'FaceColor','none')
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   hold off
   

2. curva dentro de $z=1+x-y$ paralela al plano $YZ$ pasando por el punto $P(2,0,3)$: $$z=3-y \ \ \ \mbox{en}\ \ \ x=2$$

   [X,Y]=meshgrid(1:3,-2:2);
   Z=1+X-Y;
   surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.5 .5 .5],'FaceColor','none')
   [X,Y]=meshgrid(2,-2:2);
   Z=1+X-Y;
   hold on
   plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
   plot3(2,0,3,'o')
   [Y,Z]=meshgrid(-2:2,-2:2:6);
   surface(2*ones(size(Y)),Y,Z,'EdgeColor',[1 .2 .2],'FaceColor','none')
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   hold off
   

3. curva dentro de $z=2+x^2+y^2$ paralela al plano $XZ$ pasando por el punto $P(1,1,4)$: $$z=3+x^2 \ \ \ \mbox{en}\ \ \ y=1$$

      [X,Y]=meshgrid(-1:.1:2,0:.1:2);
     Z=2+X.^2+Y.^2;
     surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.7 .7 .7],'FaceColor','none')
     [X,Y]=meshgrid(-1:.1:2,1);
     Z=2+X.^2+Y.^2;
     hold on
     plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
     plot3(1,1,4,'o')
      [X,Z]=meshgrid(-1:2,2:2:10);
      surface(X,ones(size(X)),Z,'EdgeColor',[1 .5 .2],'FaceColor','none')
     xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
     grid on
     view([150 18])
     hold off
   

4. curva dentro de $z=2+x^2+y^2$ paralela al plano $YZ$ pasando por el punto $P(2,0,6)$: $$z=6+y^2 \ \ \ \mbox{en}\ \ \ x=2$$

      [X,Y]=meshgrid(1:.1:3,-2:.1:2);
     Z=2+X.^2+Y.^2;
     surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.5 .5 .5],'FaceColor','none')
     [X,Y]=meshgrid(2,-2:.1:2);
     Z=2+X.^2+Y.^2;
     hold on
     plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
     plot3(2,0,6,'o')
     [Y,Z]=meshgrid(-2:2,-2:5:16);
     surface(2*ones(size(Y)),Y,Z,'EdgeColor',[1 .2 .2],'FaceColor','none')
     xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
     grid on
     hold off
   

5. curva dentro de $z=\sqrt{x^2+y^2-1}$ paralela al plano $XZ$ pasando por el punto $P(0,2,\sqrt{3})$: $$z=\sqrt{3+x^2} \ \ \ \mbox{en}\ \ \ y=2$$

            [X,Y]=meshgrid(-1:.1:1,1:.1:3);
   		Z=sqrt(X.^2+Y.^2-1);
   		surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.7 .7 .7],'FaceColor','none')
   		[X,Y]=meshgrid(-1:.1:1,2);
   		Z=sqrt(X.^2+Y.^2-1);
   		hold on
   		plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
   		plot3(0,2,sqrt(3),'o')
   		[X,Z]=meshgrid(-1:1,0:3);
   		surface(X,2*ones(size(X)),Z,'EdgeColor',[1 .2 .2],'FaceColor','none')
   		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   		grid on
   		view([150 18])
   		hold off
   

6. curva dentro de $z=\sqrt{x^2+y^2-1}$ paralela al plano $YZ$ pasando por el punto $P(1,1,1)$: $$z=|y| \ \ \ \mbox{en}\ \ \ x=1$$

          [X,Y]=meshgrid(1:.1:2,-1:.1:1);
   	  Z=sqrt(X.^2+Y.^2-1);
   	  surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[.7 .7 .7],'FaceColor','none')
   	  [X,Y]=meshgrid(1,-1:.1:1);
   	  Z=sqrt(X.^2+Y.^2-1);
   	  hold on
   	  plot3(X,Y,Z,'LineWidth',1.2)
   	  plot3(1,1,1,'o')
   	  [Y,Z]=meshgrid(-1:.5:1,0:.5:2);
   	  surface(ones(size(Y)),Y,Z,'EdgeColor',[1 .2 .2],'FaceColor','none')
   	  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   	  grid on
   	  view([151 32])
   	  axis equal
   	  hold off
   

El gradiente de $z=f(x,y)$ es $$\nabla f(x,y)=(f'_x(x,y),f'_y(x,y))$$ Ver solución

1. $\nabla f(x,y)=\nabla(xy^2-3x^2)=(y^2-6x,2xy)$
2. $\nabla f(x,y)=\nabla(x\,\mbox{sen}\, (xy))=(\mbox{sen}\, (xy)+xy\cos(xy), x^2\cos(xy))$
3. $\nabla f(x,y)=\nabla(\sqrt{x^2+y^2})=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$
4. $\nabla f(x,y)=\nabla(2-\frac{y}{x+y})=(\frac{-y}{(x+y)^2}, \frac{-x}{(x+y)^2})$

1. $f(x,y)=xy^2-3x^2$: $$f''_{xx}=-6$$ $$f''_{xy}=2y$$ $$f''_{yy}=2x$$
2. $f(x,y)=x\mbox{sen}\, (xy)$: $$f''_{xx}=2y\cos(xy)-xy^2\mbox{sen}(xy)$$ $$f''_{xy}=2x\cos(xy)-x^2y\mbox{sen}(xy)$$ $$f''_{yy}=-x^3\mbox{sen}(xy)$$

Recuerda que la derivada parcial de $f(x,y)$ respecto de $x$ en $(a,b)$, es decir, $f'_x(a,b)$ es la derivada en $x=a$ de la curva intersección de $z=f(x,y)$ con el plano $y=b$.
Ver solución

La partícula B, ya que $g'_x(1,1)>f'_x(1,1)$. En la figura vemos la trayectoria de la partícula A en verde y la de la B en rosa:

      [X,Y]=meshgrid(0:.1:1.5);
	  Z=(X-1).^2+Y.^2;
	  surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[0.6 1 1],'FaceColor','none')
	  hold on
	  Z=(X.^2+Y.^2)/2;
	  surface(X,Y,Z,'EdgeColor',[1 .6 1],'FaceColor','none')
	  [X,Y]=meshgrid(0:.1:1.5,1);
	  Z=(X-1).^2+Y.^2;
	  plot3(X,Y,Z,'c','LineWidth',1.2)
	  Z=(X.^2+Y.^2)/2;
	  plot3(X,Y,Z,'m','LineWidth',1.2)
	  plot3(1,1,1,'o')
	  [X,Z]=meshgrid(0:.5:1.5,0:.5:3);
	  surface(X,ones(size(X)),Z,'EdgeColor',[0.5 0.5 1],'FaceColor','none')
	  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
	  grid on
	  view([29 30])
	  axis equal
	  hold off
      

Recuerda que la derivada parcial de $f(x,y)$ respecto de $y$ en $(a,b)$, es decir, $f'_y(a,b)$, es la derivada en $y=b$ de la curva intersección de $z=f(x,y)$ con el plano $x=a$.
Ver solución

Por las pendientes de estas curvas en el punto $(2,1)$ deducimos que $$h'_y(2,1)<f'_y(2,1)<g'_y(2,1)$$ y $$|g'_y(2,1)|<|f'_y(2,1)|<|h'_y(2,1)|$$

Un vector ${\bf u}$ del plano es una dirección si es de norma 1 y se podrá expresar como ${\bf u}=(\cos \varphi,\mbox{sen}\, \varphi)$, siendo $\varphi$ el ángulo que forma el vector ${\bf u}$ con el eje 0X positivo.
Ver solución

1. ${\bf v}=(1,1)$ no es dirección; su dirección es $${\bf u}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=(\cos \frac{\pi}{4}, \mbox{sen}\, \frac{\pi}{4})$$
2. ${\bf v}=(1,0)$ es una dirección; $${\bf v}=(1,0)=(\cos 0, \mbox{sen}\, 0)$$
3. ${\bf v}=(0,-1)$ es una dirección; $${\bf v}=(0,-1)=(\cos \frac{3\pi}{2}, \mbox{sen}\, \frac{3\pi}{2})$$
4. ${\bf v}=(-\sqrt{3},1)$ no es dirección; su dirección es $${\bf u}=(\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})=(\cos \frac{5\pi}{6}, \mbox{sen}\, \frac{5\pi}{6})$$
5. ${\bf v}=(-1,-\sqrt{3})$ no es dirección; su dirección es $${\bf u}=(\frac{-1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2})=(\cos \frac{4\pi}{3}, \mbox{sen}\, \frac{4\pi}{3})$$

Si la dirección nos viene dada por $\varphi$, el ángulo que forma el vector ${\bf u}$ con el eje 0X positivo, el vector de norma 1 es ${\bf u}=(\cos \varphi,\mbox{sen}\, \varphi)$.
Ver solución

Para dibujarlos en el ordenador todos a la vez, podemos poner

  		a=[pi/5 11*pi/12 7*pi/6];
  		compass([2*cos(a) 3*cos(a) 4*cos(a)], [2*sin(a) 3*sin(a) 4*sin(a)])
  		

		Norte: $(0,1)$
	Noroeste: $(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$		Noreste: $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
Oeste: $(-1,0)$				Este: $(1,0)$
	Suroeste: $(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{-\sqrt{2}}{2})$		Sureste:$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{-\sqrt{2}}{2})$
		Sur: $(0,-1)$

Para representarlas en el ordenador:

		angulos=0:pi/4:7*pi/4;
		compass(cos(angulos),sin(angulos))
		

o bien

		angulos=0:pi/4:7*pi/4;
		[x,y]=pol2cart(angulos,ones(1,8)); % transforma coordenadas polares a cartesianas
		compass(x,y)

Recuerda que si una función $f(x,y)$ es diferenciable, la derivada direccional en la dirección ${\bf u}$ es el producto escalar de $\nabla f(x,y)$ por la dirección ${\bf u}$.
Ver solución

$$D_N=1,\ D_{NE}=\frac{3}{2}\sqrt{2},\ D_E=2,\ D_{SE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\ D_S=-1,\ D_{SW}=\frac{-3}{2}\sqrt{2},\ D_W=-2,\ D_{NW}=\frac{-\sqrt{2}}{2}$$ por tanto $$D_{SW}<D_W<D_S<D_{NW}<D_{SE}<D_N<D_E<D_{NE}$$ Para calcularlas en el ordenador,

		angulos=0:pi/4:7*pi/4;
		[x,y]=pol2cart(angulos,ones(1,8));
		sym([2,1]*[x;y])
		

En la siguiente figura puedes ver una porción de la superficie $f(x,y)=x^2y$, cuyo gradiente es $(2xy,x^2)$ y las curvas, en azul, intersección de la superficie con los planos verticales en las direcciones en las que se han calculado las derivadas direccionales:

1. Verdadero.
2. Falso, una función puede ser continua y no diferenciable.
3. Falso, no es necesario que las parciales sean continuas para que la función sea diferenciable.
4. Verdadero, puesto que si una (o las dos) parciales fuera continua, entonces la función sería diferenciable.

Dos vectores tangentes a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(a,b,f(a,b))$ son $${\bf u}=(1,0,f'_x(a,b))\ \ , \ \ {\bf v}=(0,1,f'_y(a,b))$$
Ver solución

1. dos vectores tangentes a la superficie $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ en el punto $P(1,1,\sqrt{2})$ son $${\bf u}=(1,0,\frac{-1}{\sqrt{2}})\ \ , \ \ {\bf v}=(0,1,\frac{-1}{\sqrt{2}})$$

   		  [R,T]=meshgrid(0:.1:1.8,0:pi/20:pi/2);
   		  Z=sqrt(4-R.^2);
   		  surface(R.*cos(T),R.*sin(T),Z)
   		  shading interp
   		  alpha(.6)
   		  hold on
   		  plot3(1,1,sqrt(2),'*m')
   		  quiver3([1 1],[1,1],[sqrt(2) sqrt(2)],[1 0],[0 1],[-1/sqrt(2) -1/sqrt(2)])
   		  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   		  view([55 18])
   		  grid on
   		  hold off
   		

2. dos vectores tangentes a la superficie $z=-\sqrt{x^2+y^2}$ en el punto $P(0,1,-1)$ son $${\bf u}=(1,0,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,1,-1)$$

   					  [R,T]=meshgrid(0:.1:1.8,0:pi/20:pi);
   					  Z=-R;
   					  surface(R.*cos(T),R.*sin(T),Z)
   					  shading interp
   					  alpha(.6)
   					  hold on
   					  plot3(0,1,-1,'*m')
   					  quiver3([0 0],[1,1],[-1 -1],[1 0],[0 1],[0 -1])
   					  xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   					  view([115 26])
   					  axis equal
   					  grid on
   					  hold off
   		

3. dos vectores tangentes a la superficie $z=3y^2$ en el punto $P(1,-1,3)$ son $${\bf u}=(1,0,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,1,-6)$$

   [X,Y]=meshgrid(0:.1:2,-2:.1:0);
   Z=3*Y.^2;
   surface(X,Y,Z)
   shading interp
   alpha(.6)
   hold on
   plot3(1,-1,3,'*m')
   quiver3([1 1],[-1,-1],[3 3],[1 0],[0 1],[0 -6])
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   view([113 16])
   grid on
   hold off
   		

4. dos vectores tangentes a la superficie $z=2-x^3$ en el punto $P(\frac{1}{2},0,\frac{15}{8})$ son $${\bf u}=(1,0,\frac{-3}{4})\ \ , \ \ {\bf v}=(0,1,0)$$

   [X,Y]=meshgrid(0:.1:1,-.5:.1:.5);
   Z=2-X.^3;
   surface(X,Y,Z)
   shading interp
   alpha(.6)
   hold on
   plot3(.5,0,15/8,'*m')
   quiver3([.5 .5],[0 0],[15/8 15/8],[1 0],[0 1],[-3/4 0])
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   view([55 18])
   grid on
   hold off
   		

• Dos vectores tangentes a la superficie $y=g(x,z)$ en el punto $(a,g(a,c),c)$ son $${\bf u}=(1,g'_x(a,c),0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,g'_z(a,c),1)$$
• Dos vectores tangentes a la superficie $x=h(y,z)$ en el punto $(h(b,c),b,c)$ son $${\bf u}=(h'_y(b,c),1,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(h'_z(b,c),0,1)$$

Ver solución

1. dos vectores tangentes a la superficie $y=2-x^2$ en el punto $P(1,1,2)$ son $${\bf u}=(1,-2,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,0,1)$$

     [X,Z]=meshgrid(-2:.1:2,1:.1:3);
     Y=2-X.^2;
     surface(X,Y,Z)
     shading interp
     alpha(.6)
     hold on
     plot3(1,1,2,'*m')
     quiver3([1 1],[1 1],[2 2],[1 0],[-2 0],[0 1])
     xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
     view([55 18])
     grid on
     hold off
   		

2. dos vectores tangentes a la superficie $y=\sqrt{9-x^2}$ en el punto $P(2,\sqrt{5},2)$ son $${\bf u}=(1,\frac{-2}{\sqrt{5}},0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,0,1)$$

   	   [X,Z]=meshgrid(1:.1:3);
   	   Y=sqrt(9-X.^2);
   	   surface(X,Y,Z)
   	   shading interp
   	   alpha(.6)
   	   hold on
   	   plot3(2,sqrt(5),2,'*m')
   	   quiver3(2*[1 1],sqrt(5)*[1 1],2*[1 1],[1 0],[-2/sqrt(5) 0],[0 1])
   	   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   	   view([75 18])
   	   grid on
   	   hold off
   		

3. dos vectores tangentes a la superficie $x=z\cos y$ en el punto $P(0,\frac{\pi}{2},2)$ son $${\bf u}=(-2,1,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(0,0,1)$$

   [Y,Z]=meshgrid(0:.1:pi,1:.1:3);
   X=Z.*cos(Y);
   surface(X,Y,Z)
   shading interp
   alpha(.6)
   hold on
   plot3(0,pi/2,2,'*m')
   quiver3([0 0],(pi/2)*[1 1],[2 2],[-2 0],[1 0],[0 1])
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   view([33 10])
   grid on
   hold off
   		

4. dos vectores tangentes a la superficie $x=e^{-y}$ en el punto $P(1,0,-1)$ son $${\bf u}=(\frac{1}{2},1,0)\ \ , \ \ {\bf v}=(\frac{1}{2},0,1)$$

   [Y,Z]=meshgrid(-1:.1:1,-2:.1:0);
   X=Z.*exp(-Y)/2;
   surface(X,Y,Z)
   shading interp
   alpha(.6)
   hold on
   plot3(-.5,0,-1,'*m')
   quiver3(-.5*[1 1],[0 0],-[1 1],.5*[1 1],[1 0],[0 1])
   xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
   view([59 24])
   grid on
   hold off
   		

Una manera rápida de buscar cuáles son perpendiculares a la curva en ese punto es hallar la pendiente que tiene la curva en ese punto.
Ver solución

La pendiente de la curva en el punto $P$ es $\frac{-2}{\sqrt{3}}$, luego son perpendiculares $${\bf u_2}=(\sqrt{3},-2) \ \ \mbox{y}\ \ {\bf u_4}=(\frac{-\sqrt{3}}{2},1)$$ Para representarlos en el ordenador podemos escribir

		x=-1:.1:1;
		y=-sqrt(1-x.^2)/2;
		plot(x,y) % arco de la curva
		hold on
		a=sqrt(3)/2;
		plot(a,-1/4,'*') % punto
		quiver(a*ones(1,5),-ones(1,5)/4,[2*a 2*a -3 -a 1],[2 -2 1 1 -2*a]) % los cinco vectores
		hold off
		

Recuerda que

• el vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto donde ese gradiente se calcula,
• el vector gradiente indica el sentido de crecimiento

Ver solución

1. La superficie a. es una porción de $z=4-y^2$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 3'':
   

2. La superficie b. es una porción de $z=-3+x^2+2y^2$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 6'':
   

3. La superficie c. es una porción de $10z=\sqrt{10+y-x^2}$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 4'':
   

4. La superficie d. es una porción de $z=3-x^2-2y^2$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 1'':
   

5. La superficie e. es una porción de $z=y^2-4$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 2'':
   

6. La superficie f. es una porción de $10z=-\sqrt{10+y-x^2}$, su gradiente está representado en la figura llamada ''Gradiente 5'':
   

1. los puntos frontera de $D$ son los puntos de la circunferencia $x^2+y^2=1$;
2. los puntos singulares de la función $T(x,y)$ en $D$ son todos los de la forma $(0,y)$ con $-1\leq y\leq 1$;
3. los puntos estacionarios de la función $T(x,y)$ en $D$ son todos los de la forma $(x,0)$ con $-1\leq x\leq 1$, $x\neq 0$.

En la figura puede apreciarse cómo, según puede deducirse de la expresión de la temperatura, los valores mínimos se alcanzan en los ejes. La temperatura será máxima en cuatro puntos del borde de la placa:

[R,T]=meshgrid(0:.05:1,0:pi/50:2*pi);
surf(R.*cos(T),R.*sin(T),R.^3.*abs(cos(T)).*sin(T).^2)
shading interp
xlabel('x');ylabel('y')

La figura anterior muestra la función temperatura en los puntos de $D$. Si lo que queremos es dibujar la placa coloreada según su temperatura, basta que veamos la gráfica anterior desde arriba; para ello añadimos al código anterior las líneas

view([0,90])
axis equal