El dominio $D$, en el que tenemos que calcular los valores máximos y mínimos de la función $f$, es el conjunto del plano que se muestra en la figura siguiente:

Representamos también la gráfica de la función $f$, la frontera $C$ del dominio $D$ (curva en azul del plano $z=0$) y la curva imagen de $C$ por $f$ (curva en color naranja).

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Puntos críticos

Como la función $f$ es continua en la región $D$, que es acotada y contiene a su frontera, se tiene asegurado que $f$ alcanzará los valores máximo y mínimo absoluto en $D$ (ver teorema de Weierstrass).
Al ser $f$ diferenciable, los puntos que serán extremos absolutos son

1. puntos frontera del rectángulo $D$ o
2. puntos del interior de $D$ donde el gradiente de $f$ es nulo.

Calcula los puntos críticos de $f$ en el interior de $D$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Puntos críticos en el interior de $D$

Serán los que cumplen $$f_x^'\left( {x,y} \right) = y\cos \,xy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f_y^'\left( {x,y} \right) = x\cos \,xy$$ Los puntos que anula simultáneamente a las dos derivadas parciales son:

1. el punto $\left( {0,\,\,0} \right)$ que no es un punto interior a $D$
2. los puntos de la hipérbola $xy = {\pi \over 2}$ que están sobre el rectángulo $D$. En cada uno de esos puntos la función toma el valor $ sen\left( {{\pi \over 2}} \right) +1 = 2$.
   
   La imagen muestra la representación de los puntos de la hipérbola en el interior de $D$
   
   

En la figura siguiente se muestra sobre la gráfica de la función los puntos obtenidos:


Analizamos ahora la frontera de $D$. Empieza calculando los puntos críticos de $f$ en el eje $OX$ perteneciente a $D$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Puntos del segmento que une $\left( {0,\,\,0} \right)$ con $\left( {\pi,\,\,0} \right)$

En este caso la función es: $$f\left( {x,0} \right) = sen\left( 0 \right) + 1 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {0,\pi} \right]$$
Calcula los puntos críticos de $f$ en el segmento que une los puntos $\left( {0,\,\,0} \right)$ con $\left( {0,\,\,1} \right)$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Puntos del segmento que une $\left( {\pi,\,\,0} \right)$ con $\left( {\pi,\,\,1} \right)$

En este caso la función es: $$f\left( {\pi ,y} \right) = sen\left( {\pi y} \right) + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y \in \left[ {0,1} \right]$$ Esta función tiene un extremo en los puntos $\left( {\pi ,\,1/2} \right)$ y en los puntos $\left( {\pi ,\,0} \right)$ y $\left( {\pi ,\,1} \right)$.
El primero de los puntos pertenece a la hipérbola ya analizada y en los otros dos puntos la función vale $f\left( {\pi ,\,0} \right)=f\left( {\pi ,\,1} \right)=1$
Calcula los puntos críticos de $f$ en el segmento que une los puntos $\left( {0,\,\,1} \right)$ con $\left( {\pi,\,\,1} \right)$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Puntos del segmento que une $\left( {0,\,\,1} \right)$ con $\left( {\pi,\,\,1} \right)$

En este caso la función es: $$f\left( {x,\,1} \right) = sen\left( x \right) + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \in \left[ {0,\pi} \right]$$ que tiene un extremo en el punto $\left( {\pi /2,\,1} \right)$ perteneciente a la hipérbola ya analizada y en los puntos $\left( {0 ,\,1} \right)$ y $\left( {\pi,\,\,1} \right)$ donde la función vale 1.
Calcula los puntos críticos de $f$ en el segmento que une los puntos $\left( {0,\,\,0} \right)$ con $\left( {0,\,\,1} \right)$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Puntos del segmento que une $\left( {0,\,\,0} \right)$ con $\left( {0,\,\,1} \right)$

En este caso la función es: $$f\left( {0,y} \right) = sen\left( 0 \right) + 1 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y \in \left[ {0,1} \right]$$
Una vez analizados todos los puntos críticos de $f$ en $D$, calcula el valor máximo y mínimo absoluto de la función $f$. En cuanto lo tengas pulsa sobre el botón Ver

Análisis de los extremos absolutos

Conclusión:

1. Los valores máximos absolutos de la función $f$ en $D$ se alcanzan en los puntos de la hipérbola $xy = {\pi \over 2}$ tomando $f$ el valor 2.
2. Los valores mínimos absolutos de $f$ en $D$ se alcanzan en los puntos del eje $X$ y del eje $Y$ pertenecientes a $D$ y en el punto $\left( {\pi,\,\,1} \right)$ tomando $f$ el valor 1.