La figura siguiente representa la gráfica de la función $f$, el segmento que une los puntos $A$ y $B$ (en azul) y la curva imagen del segmento por $f$ (curva en color naranja).
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Calculamos los puntos críticos

Como los puntos del segmento que unen los puntos $A$ y $B$ son de la forma $\left( {x,2} \right)$ con $x \in \left[ {0,4} \right]$ la función en esos puntos es: $$h\left( x \right) = f\left( {x,2} \right) = 2{x^2} - 8x + 18 \,\,\,\,\,\, x \in \left[ {0,4} \right]$$

Calcula los puntos críticos de $h$ y, en cuanto lo tengas, pulsa sobre el botón Ver

Los puntos críticos de esta función en el intervalo $\left[ {0,4} \right]$ son los puntos extremos del intervalo y los puntos donde la derivada se anula, es decir, los puntos $$x = 0,\,\,x = 4,\,\,\,x = 2$$ Evalúa la función $f$ en esos puntos y determina los extremos absolutos de la función sobre el segmento $AB$.
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Se obtiene $h\left( 0 \right) = 18$, $h\left( 4 \right) = 18$, $h\left( 2 \right) = 10$.

Conclusión:

1. El valor mínimo absoluto de la función $f$ sobre el segmento $AB$ se alcanza en el punto $\left( {2,2} \right)$ con valor $f\left( {2,2} \right) = 10$.
2. Los valores máximos absolutos de $f$ sobre el segmento $AB$ se alcanzan en los puntos $\left( {0,2} \right)$ y $\left( {4,2} \right)$ con valor $f\left( {0,2} \right) = f\left( {4,2} \right) = 18$.