Aproximación lineal

Definición(Plano tangente a una superficie en un punto).- Sea $S$ una superficie de ecuación $z=f(x,y)$ y $P(a,b,f(a,b))$ un punto de $S$. Si $f$ es diferenciable en $(a,b)$ se define el plano tangente de $S$ en $P$ como el plano que contiene a la recta tangente en el punto $P$ a cualquier curva $C$ que esté sobre la superficie $S$ y que pase por $P$.

OBTENCIÓN de la expresión del plano tangente: Si consideramos en el punto $P(a,b,f(a,b))$ los vectores ${\bf u}=(1,0,f'_x(a,b))$ y ${\bf v}=(0,1,f'_y(a,b))$ tangentes a las curvas resultantes de la intersección de $S$ con los planos $y=b$ y $x=a$ respectivamente, el producto vectorial ${\bf u}\times{\bf v}$ será un vector normal al plano tangente $${\bf N}={\bf u}\times{\bf v}=(-f'_x(a,b),-f'_y(a,b),1)$$ Es conveniente observar que este vector es el gradiente de la función $F(x,y,z)=z-f(x,y)$.

La ecuación del plano tangente de $S$ en $(a,b)$ resulta $$z=f(a,b)+f'_x(a,b)(x-a)+f'_y(a,b)(y-b)$$

IMPORTANTE: Si $f$ es diferenciable en $(a,b)$, el plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en $(a,b)$ es único y la diferencial $dz$ es el incremento de la ordenada del plano tangente correspondiente a los incrementos $\Delta x$ y $\Delta y$.

APROXIMACIÓN LINEAL: Si la función $z=f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$, entonces el incremento $\Delta z=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)$ se puede aproximar mediante el valor de la diferencial $$\Delta z\approx f'_x(a,b) \Delta x+f'_y(a,b) \Delta y=dz$$ siendo $(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)$.

Fórmula de Taylor de grado dos

La generalización de la fórmula de Taylor de grado dos para una función de dos variables, $z=f(x,y)$, que admite derivadas parciales de cualquier orden en un entorno de $(a,b)$ viene dada por: $$f(x,y)=f(a,b)+f'_x(a,b)(x-a)+f'_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}[f''_{xx}(a,b)(x-a)^2+ 2f''_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f''_{yy}(a,b)(y-b)^2]+R_2$$ donde $R_2$ es un infinitésimo verificando: $$\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}\frac{R_2}{|(x-a,y-b)|^2}=0$$ Esta fórmula se expresa también en términos de los incrementos $$\Delta x=x-a \hspace{.2cm}, \hspace{.2cm} \Delta y=y-b$$ \begin{equation} f(a+\Delta x, b+\Delta y)=f(a,b)+f'_x(a,b)\Delta x+f'_y(a,b)\Delta y+\frac{1}{2}[f''_{xx}(a,b)\Delta x^2+ 2f''_{xy}(a,b)\Delta x \Delta y+f''_{yy}(a,b)\Delta y^2]+R_2\end{equation}

Recordando que $\nabla f(a,b)=(f'_x(a,b),f'_y(a,b))$ podemos escribir la fórmula de Taylor de la siguiente manera $$f(a+\Delta x, b+\Delta y)-f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot (\Delta x,\Delta y)+\frac{1}{2}(\Delta x,\Delta y) \left(\begin{array}{ll}f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{xy} & f''_{yy} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\Delta x \\ \Delta y \end{array}\right)+R_2$$ Para facilitar la escritura de esta expresión, le ponemos nombre a la matriz de las derivadas segundas:

Definición(Matriz Heassiana).- En general se define matriz Hessiana de $z=f(x,y)$ por $$\left(\begin{array}{ll}f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{array}\right)=Hf(a,b)$$

Utilizamos la fórmula de Taylor para obtener el siguiente concepto:

Definición(Diferencial segunda).- El término entre corchetes de la fórmula de Taylor anterior se denomina diferencial segunda de $f$ y escribiendo $dx=\Delta x$ y $dy=\Delta y$, $$d^2f=f''_{xx}(a,b)dx^2+ 2f''_{xy}(a,b)dx dy+f''_{yy}(a,b)dy^2=(dx,dy) Hf(a,b)\left(\begin{array}{l}dx \\ dy \end{array}\right)$$