Desarrollo en serie de Fourier compleja.

Si $f(x)$ es una función $2\pi$-periódica, continua y provista de derivada continua, salvo en un número finito de puntos de un intervalo que son puntos de discontinuidad de primera especie para $f$ o $f'$, entonces la serie de Fourier compleja de la función $f(x)$ es $$\sum_{-\infty}^\infty c_ne^{inw x}$$ donde $w=\frac{\pi}{p}$ y $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)e^{-inw x}\, dx\ \ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$

También puede tomarse $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{0}^{2p} f(x)\, e^{-inwx}dx\ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$ si conocemos $f(x)$ en $[0,2p]$. O en general, $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{a}^{a+2p} f(x)\, e^{-inwx}dx\ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$ para $a$ un número arbitrario real.

Si los coeficientes $c_n$ son conocidos, los coeficientes de la forma trigonométrica se obtendrán simplemente haciendo $$a_n=2\mbox{ Re }c_n \ \ \ \mbox{y}\ \ \ b_n=-2\mbox{ Im }c_n$$ Recíprocamente, si lo que se conoce es la forma trigonométrica, los coeficientes complejos se obtendrán con $$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$$