Desarrollo en serie de Fourier. Convergencia.
Si $f(x)$ es una función $2\pi$-periódica, continua y provista de derivada continua, salvo en un número finito
de puntos de un intervalo que son puntos de discontinuidad de primera especie para $f$ o $f'$, entonces la serie
trigonométrica
$$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi}{p}x+b_n\mbox{sen}\frac{n\pi}{p}x$$
con
$$a_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p \, f(x)\cos\frac{n\pi}{p}x\, dx \ , \ \ n=0, 1, \ldots$$ $$b_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p \, f(x)\sin\frac{n\pi}{p}x\, dx \ , \ \ n= 1, 2 \ldots$$
es convergente y tiene por suma el valor de la función $f(x)$ en los puntos en que ésta es continua y es el
promedio de los límites por la derecha y por la izquierda en los puntos en que es discontinua.
Si la función $f(x)$ es par, su desarrollo es
$$S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi}{p}x\ \ \ \ , \ \ \ \ a_n=\frac{2}{p}\int_{0}^p \, f(x)\cos\frac{n\pi}{p}x\, dx \ , \ \ n=0, 1, \ldots $$
y si es impar, entonces
$$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi}{p}x\ \ \ \ ,\ \ \ \ b_n=\frac{2}{p}\int_{0}^p \, f(x)\sin\frac{n\pi}{p}x\, dx \ , \ \ n=1, 2 \ldots $$