Radio, intervalo y campo de convergencia de una serie de potencias

• Para cada serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ que converge no únicamente en $x=0$, existe un número $R>0$ tal que la serie converge absolutamente para $|x|<R$ y diverge para $|x|>R$. Se llama intervalo de convergencia al intervalo $(-R,R)$ y $R$ recibe el nombre de radio de convergencia.
• El campo de convergencia de $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ es siempre un intervalo de uno de los tres tipos siguientes
  • un sólo punto: $a=0$
  • un intervalo de la forma: $(-R,R)$, $(-R,R]$, $[-R,R)$, $[-R,R]$, donde $R$ es el radio de convergencia de la serie
  • la recta real completa: $(-\infty,\infty)$