Para encontrar $$\int \frac{dx}{1-x^4}$$ empezamos descomponiendo $1/(1-x^4)$ en fracciones simples. Para ello debemos factorizar el polinomio del denominador $$1-x^4=(1+x^2)(1+x)(1-x)$$ por lo cual $$\frac{1}{1-x^4}=\frac{Ax+B}{1+x^2}+\frac{C}{1+x}+\frac{D}{1-x}$$ Poniendo el segundo término al mismo denominador e igualando los numeradores, resulta $$(Ax+B)(1-x^2)+C(1+x^2)(1-x)+D(1+x^2)(1+x)=1$$ Igualando coeficientes llegamos al sistema de la izquierda, cuya solución se muestra a la derecha $$\begin{array}{l} -A-C+D=0 \\ -B+C+D=0 \\ A-C+D=0 \\ B+C+D=1 \end{array}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ A=0 \ , \ B=\frac{1}{2} \ ,\ C=D=\frac{1}{4}$$ Una vez descompuesta la función en fracciones simples, podemos hacer la integral $$\int \frac{dx}{1-x^4}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{1+x}+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{1-x}=$$ $$= \frac{1}{2}\mbox{arctg}\, x+\frac{1}{4}\log\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$$