Llamamos $$a_n=\frac{(-1)^n}{n}$$ y hacemos el límite $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \frac{n}{(-1)^n}x=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-n}{n+1}x=-x$$ Según el criterio del cociente debemos exigir que $$-x<1$$ es decir $$x>-1$$ Luego el intervalo de convergencia quedaría $$(-1,\infty)$$ Sin embargo sabemos que el intervalo de convergencia de una serie de potencias de $x$ es siempre un intervalo centrado en el origen. ¿Dónde está el error? Piénsalo y pulsa en 'Continuar'. Continuar

Se nos ha olvidado que el criterio del cociente se utiliza en series de términos positivos. Cuando se busca el intervalo de convergencia de una serie de potencias utilizando el criterio del cociente, éste se aplica a la serie de los términos absolutos; se analiza de hecho el intervalo abierto donde la serie es absolutamente convergente; en este caso $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}|x|=|x|$$ de donde deducimos que el intervalo de convergencia es $$(-1,1)$$