Definiciones

Una sucesión es un conjunto de objetos ordenados mediante los números naturales. Si esta colección es de número reales se dirá que la sucesión es de números reales.

Se puede considerar una sucesión real como una función que asigna a cada número natural un número real, $$\begin{array}{llll} f: & {\bf N} & \rightarrow & {\bf R} \\ & n & \rightarrow & f(n)=a_n\end{array}$$ A la imagen de un número natural $n$ lo denotaremos por $a_n$ y lo llamaremos término enésimo de la sucesión. A la sucesión completa se la denotará por $\{a_n\}_n$.

Dos sucesiones $\{a_n\}_n$ y $\{b_n\}_n$ son iguales si $a_n=b_n$ para todo $n\in{\bf N}$

Definición(Límite de una sucesión).- Decimos que $L$ es el límite de la sucesión $\{a_n\}_n$ y lo denotamos así $$L=\lim_{n\rightarrow \infty} a_n$$ o también $$a_n\longrightarrow L$$ si es posible conseguir que $|a_n-L|$ sea tan pequeño como se quiera, sin más que asignarle a $n$ valores tan grandes como sea necesario. Es decir, $$L=\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \ \ \Rightarrow \ \ \forall\ \epsilon>0\ \mbox{existe}\ N_0\in{\bf N}\ \mbox{tal que}\ |a_n-L|<\epsilon\ \forall n>N_0$$

La definición anterior significa que si queremos que los términos de la sucesión se alejen de $L$ una distancia menos que $\epsilon$, lo podemos conseguir para todos los términos posteriores a un cierto número natural $N_0$. Cuanto más pequeño sea $\epsilon$ más grande habrá que tomar el valor de $N_0$.

Carácter de una sucesión

Definición(Sucesión convergente).- Las suceciones que tienen límite finito (número real), se denominan convergentes.

También existen sucesiones cuyo límite es infinito, son las llamadas sucesiones divergentes:

• la sucesión $\{a_n\}_n$ tiende a infinito ($\infty$) si cualquiera que sea el número real $k$ fijado, por grande que éste sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión superen dicho valor sin más que tomar valores de $n$ mayores que un número natural $N_0$. Simbólicamente esto puede escribirse así $$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\infty \ \ \Rightarrow \ \ \forall\ k\in{\bf R} \ \mbox{existe}\ N_0\in{\bf N}\ \mbox{tal que}\ a_n >k\ \forall n>N_0$$

• la sucesión $\{a_n\}_n$ tiende a menos infinito ($-\infty$) si cualquiera que sea el número real $k$ fijado, por grande que éste sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión sean menores que $-k$ sin más que tomar valores de $n$ mayores que un número natural $N_0$, es decir $$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=\infty \ \ \Rightarrow \ \ \forall\ k\in{\bf R} \ \mbox{existe}\ N_0\in{\bf N}\ \mbox{tal que}\ a_n <-k\ \forall n>N_0$$

Dadas dos sucesiones divergentes, podemos comparar su orden de divergencia, analizando el límite de su cociente, $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & a_n \mbox{ es de orden inferior a } b_n \\ \infty & a_n \mbox{ es de orden superior a } b_n \\ \lambda\neq 0, \infty & a_n \ \mbox{y}\ b_n \mbox{ tienen el mismo orden} \end{array}\right.$$

A continuación se dan en la tabla los denominados órdenes fundamentales de infinitud para $n$ tendiendo a infinito. Según se avance de izquierda a derecha en las columnas los órdenes de infinitud van decreciendo:

Potencial-exponencial	Exponencial	Potencial	Logaritmo
$n^{a n}$	$b^n$	$n^c$	$(\log_q n)^p$
$a>0$	$b> 1$	$c> 0$	$q> 1$, $p> 0$

Propiedad (Unicidad del límite).- Si la sucesión $\{a_n\}_n$ tiene límite, sea finito o infinito, éste es único.

Definición(Sucesión oscilante).- Se llama así a aquella sucesión que no tiene límite finito pero que tampoco tiende a infinito ni a menos infinito, es decir, una suceción es oscilante si no es ni convergente ni divergente.