Desarrollabilidad

Definición (Función desarrollable en serie de potencias).- Una función $f(x)$ definida en un conjunto $D$ de los reales es desarrollable en serie de potencias, de centro un punto $a$ del interior de $D$, en el conjunto $D$ si existe una serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ tal que $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$$ en todo $x$ de $D$.

El desarrollo en serie de potencias de una función centrado en un punto es único. Una de las herramientas más importantes para obtener el desarrollo en serie de una función es el teorema de Taylor, que permite de alguna manera ''extender'' como serie el polinomio de Taylor.

Serie de Taylor

FÓRMULA DE TAYLOR.- Si la función $f(x)$ es derivable $n+1$ veces un un intervalo $(a-R,a+R)$, la fórmula de Taylor de $f$ es $$f(x)=T_n(f;a)+R_n(x)$$ siendo $$T_n(f;a)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k}(a)}{k!}(x-a)^k$$ el polinomio de Taylor de grado $n$ de $f$ en el punto $a$ y $R_n(x)$ el resto del polinomio; se cumple que $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{R_n(x)}{(x-a)^n}=0$$

Considerando la expresión del Lagrange del resto se tendrá que la fórmula de Taylor se puede escribir de la forma $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1}(t)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ siendo $t$ un punto entre $a$ y $x$.

TEOREMA.- Si la función $f$ es infinitamente derivable en un intervalo $I$ abierto centrado en $a$ y $R_n(x)$ es el resto de la fórmula de Taylor, entonces $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n}(a)}{n!}(x-a)^n\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0$$

La serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n}(a)}{n!}(x-a)^n$ se llama Serie de Taylor de la función $f(x)$. En el caso particular en que $a=0$, la serie se denomina Serie de MacLaurin. El teorema anterior establece que para una función infinitamente derivable, ser desarrollable en serie de potencias equivale a decir que el resto de Taylor de orden $n$ tiende a 0 cuando $n$ tiende a infinito, y en caso de que esto ocurra el desarrollo en serie de la función es la serie de Taylor, es decir, el coeficiente enésimo del desarrollo de $f(x)$ en serie de potencias centrada en $a$ es $\frac{f^{(n}(a)}{n!}$. Además, en general la serie de Taylor de una función $f$ converge a $f$ en un subconjunto del intervalo de convergencia, llamado campo de validez del desarrollo.

PROPIEDAD.- Puede probarse que si existe una constante $k>0$ de forma que $$|f^{(n}(x)|\leq k\ \ \mbox{para todo } n\geq 0,\ x\in I$$ entonces $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Desarrollos en serie usuales

Se presentan a continuación los desarrollos en serie de algunas funciones elementales así como los valores de $x$ para los que dicha serie converge:

• Función exponencial:

  $$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\ldots \ , \ \ x\in{\bf R}$$

• Función seno:

  $$\mbox{sen}\, x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots \ , \ \ x\in{\bf R}$$

• Función coseno:

  $$\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \ , \ \ x\in{\bf R}$$

• Función logaritmo:

  $$\log (1+x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots\ , \ \ -1< x\leq 1$$

• Función suma de una serie geométrica:

  $$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\ldots\ , \ \ -1< x< 1$$

• Serie binomial, para cualquier $k$ real:

  $$(1+x)^k=\sum_{n=0}^\infty \left(\!\!\!\begin{array}{c}n\\ k \end{array}\!\!\!\right) x^n=1+kx+\frac{k(k-1)}{2}x^2+\ldots\ , \ \ -1< x< 1$$ donde $\left(\!\!\!\begin{array}{c}n\\ k \end{array}\!\!\!\right)=\frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}$

Obtener desarrollos a partir de otros conocidos

Con frecuencia resulta difícil encontrar la derivada enésima de la función que quiere desarrollarse, así como probar que el resto enésimo tiende a cero cuando $n$ tiende a infinito. En consecuencia, para encontrar el desarrollo de una función en serie de potencias es frecuente utilizar funciones de las que ya se conoce su desarrollo y transformarlas, bien

• derivando: la serie de la función derivada es la obtenida derivando término a término, con el mismo intervalo de convergencia;

• integrando: la serie de la función primitiva es la obtenida integrando término a término, con el mismo intervalo de convergencia; el valor de la constante de integración se determina sustituyendo $x=a$ en la función y en la serie integrada;

• mediante operaciones algebraicas; por ejemplo para funciones algebraicas, es util recurrir a la suma de la serie geométrica.

En el siguiente párrafo se detallan esas operaciones para series centradas en cero:

CÁLCULO DE DESARROLLOS A PARTIR DE OTROS CONOCIDOS MEDIANTE OPERACIONES ALGEBRAICAS.- Si $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ y $g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$ en $(-R,R)$ entonces

$\ \ \bullet $ $f(x)\pm g(x)= \sum_{n=0}^\infty (a_n\pm b_n)x^n$ en $(-R,R)$

$\ \ \bullet $ $f(kx)=\sum_{n=0}^\infty a_nk^nx^n$ en $(-\frac{R}{|k|},\frac{R}{|k|})$

$\ \ \bullet $ $f(x^k)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{nk}$ en $(-\sqrt[k]{R},\sqrt[k]{R})$, para $k>0$