Definición(Serie de potencias).- Una expresión de la forma $$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$$ recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto $a$.

Observa que para cada valor $x=x_0$ real, la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n(x_0-a)^n$ es una serie numérica. Así, una serie de potencias es una función de $x$ definida en el conjunto de valores de $x$ que hagan que las correspondientes series numéricas sean convergentes.

Convergencia de una serie de potencias

Si escribimos $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$$ el dominio de esta función $f(x)$ es el conjunto de valores de $x$ donde la serie converge y el valor de $f(x)$ es precisamente la suma de la serie.

Es evidente que toda serie de potencias converge en el punto $a$, $$f(a)=\sum_{n=0}^\infty a_n(a-a)^n=a_0$$

TEOREMA DE ABEL sobre convergencia de series de potencias.- Se considera la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$. Entonces se cumple una y sólo una de las afirmaciones siguientes:

$\ $ a) La serie converge sólo en el punto $a$.

$\ $ b) Existe un número $R> 0$ tal que la serie converge en $|x-a|< R$ y no converge en $|x-a|>R$

$\ $ c) La serie converge para todo $x$ real.

IMPORTANTE: El teorema anterior afirma que la serie converge siempre en un intervalo de la forma $(a-R,a+R)$, considerando que en el caso a) el valor de $R$ es cero y en el caso c) el valor de $R$ es infinito.

Definición (Radio e intervalo de convergencia).- Al número $R$ descrito antes se le llama radio de convergencia y el intervalo $(a-R,a+R)$ es el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

Conviene observar que el teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia, pudiéndose dar el caso de que la serie converja en ambos extremos, en uno sólo o en ninguno. Para determinar la convergencia en los extremos se deberá analizar la convergencia de la serie numérica que resulte.

Campo de convergencia.- Es el conjunto de valores reales donde la serie de potencias converge. A consecuencia del teorema anterior, el campo de convergencia es o bien únicamente el punto $a$ (si $R=0$), o bien toda la recta real (si $R=\infty$) o bien un intervalo finito centrado en $a$ (si $R\neq 0$ y $R\neq \infty$) de la forma:

$\ \ \bullet $ $(a-R,a+R)$ si tanto $S_{-a}$ como $S_a$ divergen

$\ \ \bullet $ $[a-R,a+R)$ si $S_{-a}$ converge y $S_a$ diverge

$\ \ \bullet $ $(a-R,a+R]$ si $S_{-a}$ diverge y $S_a$ converge

$\ \ \bullet $ $[a-R,a+R]$ si tanto $S_{-a}$ como $S_a$ convergen

siendo $S_{-a}=\sum_{n=0}^\infty a_n(-1)^nR^n$ y $S_{a}=\sum_{n=0}^\infty a_nR^n$.

Nota práctica: Para obtener el radio de convergencia de una serie de potencias, $R$, se aplica el criterio del cociente a la serie de los valores absolutos y se impone que el límite sea menor que 1. Una vez obtenido el radio de convergencia, si $R$ es un número real no nulo, se analiza la convergencia en los extremos $a-R$ y $a+R$.

Derivación e integración de una serie de potencias

Sea $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ una serie de potencias de radio de convergencia $R\neq 0$ y sea $$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$$ la función definida por dicha serie para $|x-a|<R$. Se tiene,

• $f(x)$ es continua en el intervalo de convergencia de la serie;

• $\sum_{n=0}^\infty na_n(x-a)^{n-1}$ es la serie de potencias derivada término a término y si $$g(x)=\sum_{n=0}^\infty na_n(x-a)^{n-1}$$ el radio de convergencia de esta serie de las derivadas es el mismo, $R$, y $g(x)$ es la derivada de $f(x)$;

• la función $f(x)$ es integrable y la integración se puede realizar también término a término, $$\int f(x)\, dx=\int \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n \, dx= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}+C$$ siendo también $R$ el radio de convergencia de esta última serie.