Series y sumas parciales de una sucesión

Definición (Serie numérica).- Dada una sucesión infinita de números reales $\{a_n\}_n$ se denomina serie a la suma de sus infinitos términos, se denota $$\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots$$ A la expresión $a_n$ se le llama término general de la serie.

Definición (Suma parcial).- La suma parcial enésima de la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es $$S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$$

Definición (Resto enésimo).- Relacionado con el concepto de suma parcial tenemos el de resto enésimo, que es $$R_n=a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots=\sum_{k=1}^\infty a_{n+k}$$ de forma que para cada $n$ natural se cumple que $\sum_{k=1}^\infty a_k=S_n+R_n$

Carácter convergente, divergente u oscilante de una serie

Dependiendo del carácter de la sucesión de sumas parciales se definirá el carácter de la serie. Si la sucesión $\{S_n\}_n$ de sumas parciales es

• convergente, entonces se dirá que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente, escribimos $$\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=S$$ y decimos que $S$ es la suma de la serie

• divergente, entonces se dirá que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente

• oscilante, entonces se dirá que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es oscilante

Dos series notables

Series geométricas.- $$\sum_{n=0}^\infty ar^n$$ siendo $a\neq 0$ el primer término de la serie y $r$ la razón.

Para estas series se cumple que

• Si $|r|<1$, la serie converge y su suma es $\frac{a}{1-r}$.

• Si $r\geq 1$, la serie diverge.

• Si $r\leq -1$, la serie es oscilante.

Series armónicas generalizadas.- $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$ siendo $p> 0$.

Para estas series se cumple que

• Si $p> 1$, la serie converge.

• Si $0< p\leq 1$, la serie diverge.