Condición necesaria de convergencia

TEOREMA.- Si la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente, entonces $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0$.

IMPORTANTE.- Que el término general de la serie tienda a cero es una condición necesaria para la convergencia de la serie, pero no es una condición suficiente, como muestra la serie armónica $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ que cumple esta condición necesaria al ser $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ y sin embargo se trata de una serie divergente: la sucesión de sumas parciales $$S_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$$ es divergente.

A consecuencia de esto, sabemos que si la serie no cumple que $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0$ esa serie ya no puede ser convergente, pero si se cumple que $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0$ no puede determinarse nada sobre el carácter de la serie y hay que proseguir el análisis. Para ello se utilizan los criterios de convergencia, pues en la mayor parte de los casos no es posible analizar la convergencia de la sucesión de sumas parciales.

Criterios de convergencia para series de términos positivos

Incluimos aquí algunos de los criterios utilizados para las series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ cumpliendo que $a_n\geq 0$ para todo $n\in{\bf N}$:

Criterio de comparación.- Si $a_n> 0$ y $b_n> 0$,

$\ \ \bullet $ Si $a_n\leq b_n$ para todo $n$ a partir de uno dado y la serie $\sum_{n=1}^\infty b_n$ es convergente, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ también es convergente.

$\ \ \bullet $ Si $a_n\leq b_n$ para todo $n$ a partir de uno dado y la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty b_n$ también es divergente.

Criterio de comparación por paso al límite.- Si $a_n> 0$ y $b_n> 0$ y $L=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$,

$\ \ \bullet $ Si $L\neq 0$ y $L\neq \infty$ las dos series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ tienen el mismo carácter.

$\ \ \bullet $ Si $L=0$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ converge, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ también converge.

$\ \ \bullet $ Si $L=0$ y $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^\infty b_n$ también diverge.

$\ \ \bullet $ Si $L=\infty$ y $\sum_{n=1}^\infty b_n$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^\infty a_n$ también diverge.

$\ \ \bullet $ Si $L=\infty$ y $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge, entonces $\sum_{n=1}^\infty b_n$ también converge.

Dada una serie de términos positivos, para analizar el carácter de una serie con estos criterios de comparación debemos utilizar otra serie de la que sepamos su carácter. Uno de los tipos de series que se usan con frecuencia para este fin son las series armónicas generalizadas, $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$ que son convergentes para $p> 1$ y divergentes para $p\leq 1$.

Criterio del cociente.- Si $a_n> 0$ y $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=L\ \ \ \mbox{o}\ \ \ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$$ entonces

$\ \ \bullet $ Si $L<1$, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente

$\ \ \bullet $ Si $L>1$, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente

$\ \ \bullet $ Si $L=1$, es un caso dudoso; sabremos que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente si existe $N_0$ tal que $\frac{a_n}{a_{n-1}}>1$ o $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ para $n>N_0$.

Criterio de la raíz.- Si $a_n> 0$ y $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=L$$ entonces

$\ \ \bullet $ Si $L<1$, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente

$\ \ \bullet $ Si $L>1$, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente

$\ \ \bullet $ Si $L=1$, es un caso dudoso; sabremos que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente si $\sqrt[n]{a_n}>1$ para infinitos valores de $n$.

Series alternadas

Definición(Serie alternada).- Una serie alternada se puede escribir de una de las formas siguientes:

$\ \ \bullet $ $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n= a_1-a_2+\ldots$ siendo $a_n$ positivo para todo $n$

$\ \ \bullet $ $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}a_n= -a_1+a_2+\ldots$ siendo $a_n$ positivo para todo $n$

TEOREMA DE LEIBNIZ sobre convergencia de series alternadas.- La serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$ ($a_n>0$) converge si la suceción $\{a_n\}$ es monótona decreciente cumpliéndose que $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$.

La condición de que la suceción $\{a_n\}$ sea decreciente establecida en el teorema anterior es una condición suficiente, no necesaria para la convergencia de la serie.

Si la serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$ ($a_n>0$) converge porque verifica las hipótesis del teorema de Leibniz, el valor absoluto del resto enésimo se puede acotar fácilmente: $$R_n=S-S_n=(-1)^na_{n+1}+(-1)^{n+1}a_{n+2}+\ldots=(-1)^{n}(a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-\ldots)$$ o bien $$R_n=(-1)^{n}[a_{n+1}-(a_{n+2}-a_{n+3})-(a_{n+4}-a_{n+5})]\ldots$$ al ser la sucesión $\{a_n\}$ decreciente cada uno de los paréntesis de la expresión anterior es positivo, con lo cual $$|R_n|< a_{n+1}$$

Suma aproximada de series alternadas.- Si la serie $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_n$ ($a_n>0$) converge porque verifica las hipótesis del teorema de Leibniz, el error cometido al tomar como suma de la serie el valor de la suma parcial enésima, $S_n$, es menor que el primer término no sumado; este error será

$\ \ \bullet $ por exceso si el primer término despreciado es negativo,

$\ \ \bullet $ por defecto si el primer término despreciado es positivo.

Series de términos cualesquiera

Definición (Serie absolutamente convergente).- Una serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ se dice absolutamente convergente si la serie de sus valores absolutos es convergente, es decir, si $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ es convergente.

TEOREMA.- Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Este teorema cobra importancia en el análisis del carácter de series de términos cualesquiera, pues en el estudio de la correspondiente serie de valores absolutos podremos recurrir a los criterios conocidos para series de términos positivos. Hay que tener en cuenta que el recíproco de este teorema no se verifica.

Definición (Serie condicionalmente convergente).- Se llama así a la serie que es convergente pero no absolutamente convergente.

Cuando una serie no es absolutamente convergente y no se trata de una serie alternada en la que usemos el criterio de Leibniz, para analizar su convergencia podemos probar con el siguiente criterio:

Criterio de Abel.- La serie $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ es convergente si la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es convergente y la sucesión $\{b_n\}$ es monótona y acotada.