Ejercicios inmediatos. Definición series de potencias
Ejercicio 1
¿Cuáles de las siguientes son series de potencias?
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2+2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n^2+2)x^n} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1/2}}{n^2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^{n+1}$$
Pista
Solución
Recuerda que una serie de potencias es de la forma
$$\sum_{n=n_0}^\infty a_n x^n$$
donde el índice de comienzo, $n_0$ es o bien 0 o bien un número natural, de manera que los exponentes en $x^n$ sólo son o el cero o un número entero positivo.
Son series de potencias
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2+2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^{n+1}$$
Ejercicio 2
¿Cuánto valen $a$, $b$ y $c$ en cada caso, si para todos los valores de $x$ en un intervalo se cumple la igualdad indicada?
$a+bx+cx^2=1-x+3x^2$
$a+bx+cx^2+dx^3=-x+5x^3$
¿Cuánto valen los coeficientes $a_n$ en cada caso, si para todos los valores de $x$ en un intervalo se cumple la igualdad indicada?
$a_n=4^n$ para $n=0$ y para todo $n$ natural, (es decir para todo $n\in {\bf N}\cup \{0\}$)
$a_0=3$ y $a_n=4^n$ para $n$ natural,
$a_0=0$ y $a_n=\frac{1}{n}$ para $n$ natural,
$a_0=1$, $a_n=\frac{1}{n!}$ para $n$ natural par y $a_n=0$ para $n$ natural impar. Esto se puede expresar también poniendo $a_{2n}=\frac{1}{(2n)!}$ y $a_{2n+1}=0$ para cualquier $n\in {\bf N}\cup \{0\}$.
$a_0=1$, $a_n=\frac{1}{(n/2)!}$ para $n$ natural par y $a_n=0$ para $n$ natural impar. Esto se puede expresar también poniendo $a_{2n}=\frac{1}{n!}$ y $a_{2n+1}=0$ para cualquier $n\in {\bf N}\cup \{0\}$.
Ejercicio 3
Recordando que $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots +a_nx^n+\ldots$$
encuentra $a_0$ y $a_1$ en $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ si $S(0)=1$ y $S'(0)=-1$. (Supón que la serie puede derivarse término a término)