Ejercicios inmediatos. Definición series de potencias

Ejercicio 1

¿Cuáles de las siguientes son series de potencias? $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2+2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n^2+2)x^n} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1/2}}{n^2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^{n+1}$$
Pista
Solución
Recuerda que una serie de potencias es de la forma $$\sum_{n=n_0}^\infty a_n x^n$$ donde el índice de comienzo, $n_0$ es o bien 0 o bien un número natural, de manera que los exponentes en $x^n$ sólo son o el cero o un número entero positivo.
Son series de potencias $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2+2} \ \ ,\ \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^{n+1}$$

Ejercicio 2

  1. ¿Cuánto valen $a$, $b$ y $c$ en cada caso, si para todos los valores de $x$ en un intervalo se cumple la igualdad indicada?
    1. $a+bx+cx^2=1-x+3x^2$
    2. $a+bx+cx^2+dx^3=-x+5x^3$
  2. ¿Cuánto valen los coeficientes $a_n$ en cada caso, si para todos los valores de $x$ en un intervalo se cumple la igualdad indicada?
    1. $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty 4^nx^n$
    2. $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=3+\sum_{n=1}^\infty 4^nx^n$
    3. $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$
    4. $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
    5. $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!}$
Solución
  1. Polinomios:
    1. $a=1$, $b=-1$ y $c=3$,
    2. $a=0$, $b=-1$, $c=0$ y $d=5$.
  2. Series de potencias:
    1. $a_n=4^n$ para $n=0$ y para todo $n$ natural, (es decir para todo $n\in {\bf N}\cup \{0\}$)
    2. $a_0=3$ y $a_n=4^n$ para $n$ natural,
    3. $a_0=0$ y $a_n=\frac{1}{n}$ para $n$ natural,
    4. $a_0=1$, $a_n=\frac{1}{n!}$ para $n$ natural par y $a_n=0$ para $n$ natural impar. Esto se puede expresar también poniendo $a_{2n}=\frac{1}{(2n)!}$ y $a_{2n+1}=0$ para cualquier $n\in {\bf N}\cup \{0\}$.
    5. $a_0=1$, $a_n=\frac{1}{(n/2)!}$ para $n$ natural par y $a_n=0$ para $n$ natural impar. Esto se puede expresar también poniendo $a_{2n}=\frac{1}{n!}$ y $a_{2n+1}=0$ para cualquier $n\in {\bf N}\cup \{0\}$.

Ejercicio 3

Recordando que $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots +a_nx^n+\ldots$$ encuentra $a_0$ y $a_1$ en $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ si $S(0)=1$ y $S'(0)=-1$. (Supón que la serie puede derivarse término a término)
Solución
$$a_0=S(0)=1$$ $$S'(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}\ \ \ \rightarrow \ \ \ a_1=S'(0)=-1$$

Ejercicio 4

Para $$S(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ escribe $S(2x)$, $S\left(\frac{x}{2}\right)$ y $S'(x)$.
Solución
$$S(2x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}$$ $$S\left(\frac{x}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{2^{2n}(2n)!}$$ $$S'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$$