Definición y obtención

Serie de Fourier trigonométrica.- Si $f(x)$ es una función $2p$-periódica, su desarrollo en serie de Fourier en forma trigonométrica es $$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nwx+b_n\,\,\mbox{sen}\, nwx)$$ donde $w=\frac{\pi}{p}$ y $$a_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\,dx\ \ ,\ \ n=0,\, 1, \, \ldots$$ $$b_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\,\mbox{sen}\, nwx\,dx\ \ ,\ \ n=1,\, 2, \, \ldots$$

Obtenemos estas expresiones a partir de la forma compleja de la serie: $$\sum_{-\infty}^\infty c_ne^{inw x}$$ donde $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)e^{-inw x}\, dx\ \ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$ Comenzamos separando el sumatorio en tres bloques correspondientes a los términos para el cero, para los negativos y para los positivos: $$f(x)=c_0+\sum_{n=-\infty}^{-1} c_ne^{inwx}+\sum_{n=1}^{\infty} c_ne^{inwx}$$ Ahora, observando que podemos cambiar $c_ne^{inwx}$ para $-\infty<n<-1$ por $c_{-n}e^{-inwx}$ para $1<n<\infty$, reescribimos el primer sumatorio como $$\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n}e^{-inwx}$$ y lo unimos al segundo, de manera que $$f(x)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty} (c_{-n}e^{-inwx}+c_ne^{inwx})$$ Puesto que nuestro objetivo es conseguir una expresión con senos y cosenos, es obligado escribir $$c_{-n}e^{-inwx}+c_ne^{inwx}=$$$$=c_{-n}\cos nwx -ic_{-n}\, \,\mbox{sen}\, nwx +c_n\cos nwx+ic_n\, \,\mbox{sen}\, nwx=$$$$=(c_{-n}+c_n)\cos nwx + i (c_n-c_{-n})\,\mbox{sen}\, nwx$$ Utilizamos ahora la fórmula de los $c_n$, $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\, dx-i\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)\,\,\mbox{sen}\, nwx\, dx\ \ \ ,\ \ \ n\geq 1$$ $$c_{-n}=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\, dx+i\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)\,\,\mbox{sen}\, nwx\, dx=\overline{c_n}\ \ \ ,\ \ \ n\geq 1$$ para obtener que $$c_{-n}+c_n=2\mbox{ Re } c_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\, dx=a_n\ \ \ ,\ \ \ n\geq 1$$ y que $$c_n-c_{-n}=2i\mbox{ Im } c_n=-i\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\,\,\mbox{sen}\, nwx\, dx=-ib_n\ \ \ ,\ \ \ n\geq 1$$ Sustituimos estas expresiones en $$c_{-n}e^{-inwx}+c_ne^{inwx}=(c_{-n}+c_n)\cos nwx + i (c_n-c_{-n})\,\mbox{sen}\, nwx$$ para obtener $$c_{-n}e^{-inwx}+c_ne^{inwx}=a_n\cos nwx+b_n\, \,\mbox{sen}\, nwx\ \ \ ,\ \ \ n\geq 1$$ que es la expresión buscada. Por otra parte, $$c_0=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)\, dx=\frac{a_0}{2}$$

Conversión entre la forma trigonométrica y la compleja

Como resultado del proceso anterior, sabemos que si los coeficientes $c_n$ son conocidos, los coeficientes de la forma trigonométrica se obtendrán simplemente haciendo $$a_n=2\mbox{ Re }c_n \ \ \ \mbox{y}\ \ \ b_n=-2\mbox{ Im }c_n$$ Recíprocamente, si lo que se conoce es la forma trigonométrica, los coeficientes complejos se obtendrán con $$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$$

Series de Fourier de funciones pares o impares

Las expresiones de los coeficientes $a_n$ y $b_n$ se simplifican si la función $f(x)$, $2p$-periódica, tiene simetría par o impar en un periodo.

Función simétrica par.-

Si $f(x)$ es par en $[-p,p]$

$\ \ \bullet\ $ la función $f(x)\cos nwx$ será par en $[-p,p]$, luego $$a_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\, dx=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\cos nwx\, dx\ \ ,\ \ n=0,\, 1,\, \ldots $$ $\ \ \bullet\ $ la función $f(x)\, \,\mbox{sen}\, nwx$ será impar en $[-p,p]$, con lo que $$b_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\,\,\mbox{sen}\, nwx\, dx=0\ \ ,\ \ n=1,\, 2,\, \ldots $$ La serie será $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nwx$$

Si la función es par, no puede haber senos en su desarrollo de Fourier.

Función simétrica impar.-

Si $f(x)$ es impar en $[-p,p]$

$\ \ \bullet\ $ la función $f(x)\cos nwx$ será impar en $[-p,p]$, luego $$a_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\cos nwx\, dx=0\ \ ,\ \ n=0,\, 1,\, \ldots $$ $\ \ \bullet\ $ la función $f(x)\, \,\mbox{sen}\, nwx$ será par en $[-p,p]$, con lo que $$b_n=\frac{1}{p}\int_{-p}^p f(x)\,\mbox{sen}\, nwx\, dx=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\,\mbox{sen}\, nwx\, dx\ \ ,\ \ n=1,\, 2,\, \ldots $$ La serie será $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\,\,\mbox{sen}\, nwx$$

Si la función es impar, no puede haber cosenos en su desarrollo de Fourier.