Dada una función en el intervalo $[0,p]$, los desarrollos de Fourier de senos o de cosenos permiten extender a todo el eje real la función como una función $2p$-periódica, con simetría impar o par en un periodo.

Extensión a un periodo

Dada una función acotada en $[0,p]$, podemos definir

• su extensión par a $[-p,p]$ $$f_p(x)=\left\{\begin{array}{lll}f(-x) & \mbox{si} & x\in [-p,0] \\ f(x) & \mbox{si} & x \in [0,p] \end{array}\right.$$

  

• su extensión impar a $[-p,p]$

  $$f_i(x)=\left\{\begin{array}{lll}-f(-x) & \mbox{si} & x\in [-p,0] \\ f(x) & \mbox{si} & x\in[0,p] \end{array}\right.$$

  

Extensión a todo el eje real

Si ahora las funciones $f_p(x)$ y $f_i(x)$ definidas antes se extienden a todo el eje real como funciones $2p$-periódicas, sus desarrollos son:

Desarrollo de $f(x)$ en serie de Fourier de cosenos.-

$$f_p(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nwx\ \ , \ \ w=\frac{\pi}{p}$$ $$a_n=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\cos nwx\,dx\ \ ,\ \ n=0,\, 1, \, \ldots$$

Desarrollo de $f(x)$ en serie de Fourier de senos.-

$$f_i(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\, \,\mbox{sen}\, nwx\ \ , \ \ w=\frac{\pi}{p}$$ $$b_n=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\, \,\mbox{sen}\, nwx\,dx\ \ ,\ \ n=1,\, 2, \, \ldots$$