Definición y obtención

Definición (Serie de Fourier compleja).- La serie de Fourier compleja de la función $f(x)$ $2p$-periódica es $$\sum_{-\infty}^\infty c_ne^{inw x}$$ donde $w=\frac{\pi}{p}$ y $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p f(x)e^{-inw x}\, dx\ \ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$

También puede tomarse $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{0}^{2p} f(x)\, e^{-inwx}dx\ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$ si conocemos $f(x)$ en $[0,2p]$. O en general, $$c_n=\frac{1}{2p}\int_{a}^{a+2p} f(x)\, e^{-inwx}dx\ \ ,\ \ n\in{\bf Z}$$ para $a$ un número arbitrario real.

Observación.- Los sumandos correspondientes a los enteros no nulos, ($n\neq 0$), van dando forma a la función a medida que se van sumando al coeficiente $c_0$, que indica el valor promedio de la función en $[-p,p]$ si ésta es continua.

Obtenemos a continuación la expresión de los coeficientes $c_n$ para que $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inwx}$$ suponiendo que la convergencia de la serie es uniforme en $[-p,p]$. Para ello se fija un número natural cualquiera, $m$, y se multiplica toda la expresión anterior por $e^{-imwx}$: $$e^{-imwx}f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{-imwx}e^{inwx}=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{i(n-m)wx}$$ Ahora se integra (la convergencia uniforme de la serie permite intercambiar el orden de la suma de la serie con la integración) cada uno de los miembros entre $-p$ y $p$, $$\int_{-p}^p e^{-imwx}f(x)\, dx=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n\int_{-p}^p e^{i(n-m)wx}\, dx$$ De todas las integrales que intervienen en ese sumatorio, sólo una es no nula. Calculando esas integrales veamos ahora por qué:

• para cada $n$ entero distinto del $m$ fijado, $$\int_{-p}^p e^{i(n-m)wx}\, dx=\frac{1}{i(n-m)w}[e^{i(n-m)wp}-e^{-i(n-m)wp}]$$ pero, puesto que $wp=\pi$, $$e^{i(n-m)wp}=(-1)^{n-m}=e^{-i(n-m)wp}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \int_{-p}^p e^{i(n-m)wx}\, dx=0$$

• para $n=m$, la integral es $$\int_{-p}^p e^{i(m-m)wx}\, dx=\int_{-p}^p e^0\, dx=2p$$

Esto significa que de todos los sumandos del sumatorio anterior sólo el correspondiente a $m$ es no nulo, y vale $c_m2p$, de manera que $$\int_{-p}^p e^{-imwx}f(x)\, dx=c_m2p$$ de donde $$c_m=\frac{1}{2p}\int_{-p}^p e^{-imwx}f(x)\, dx$$

Condiciones de existencia

Condiciones suficientes para desarrollar una función en serie de Fourier: TEOREMA DE DIRICHLET.-

Si $f(x)$ es una función $2p$-periódica, que además

$\ \ \bullet\ $ sea continua en un intervalo de amplitud igual a un periodo, salvo en un número finito de puntos de discontinuidad de salto finito

$\ \ \bullet\ $ tenga un número finito de máximos y mínimos en ese intervalo

entonces la serie de Fourier de $f(x)$ es convergente y tiene por suma el valor de la función $f(x)$ en los puntos de continuidad y el valor promedio del salto en los puntos de discontinuidad.

Derivación e integración de las series de Fourier

A continuación se presentan dos teoremas que establecen las condiciones para poder escribir nuevos desarrollos de Fourier mediante integración o derivación de otros conocidos.

Teorema (Integración de series de Fourier).- La integral de cualquier función $2p$-periódica, que cumpla el criterio de Dirichlet, se puede hallar integrando término a término la serie de Fourier de la función en el interior del intervalo $[-p,p]$.

Teorema (Derivación de series de Fourier).- Si $f(x)$ es una función periódica continua en el intervalo $[-p,p]$, con $f(p)=f(-p)$, satisfaciendo su función derivada $f'(x)$ el criterio de Dirichlet en ese intervalo, entonces la serie de Fourier de $f'(x)$ se puede hallar derivando término a término la serie de $f(x)$. La serie obtenida converge a $f'(x)$ en los puntos de continuidad y al promedio $\frac{f'^+(x)+f'^-(x)}{2}$ en los puntos de discontinuidad.

Series de Fourier a partir de una dada

Con frecuencia resulta de gran utilidad deducir la serie de Fourier de una función a partir de otra ya conocida. Además de por derivación e integración, otras manipulaciones útiles son las traslaciones en horizontal o en vertical o la aplicación de cambios de escala en horizontal o en vertical.