Como $$\left. \matrix{
\int { - 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {2x} \right)dx} = \cos \left( {2x} \right) \cr
\int { - 4{\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( x \right)\cos xdx} = 2{\cos ^2}\left( x \right) \cr} \right\} \Rightarrow \cos \left( {2x} \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right)$$
sustituyendo en x=0 se tiene que:
$$\cos \left( 0 \right) = 2{\cos ^2}\left( 0 \right) \Rightarrow 1 = 2$$
Explicación
Observa ...
que el integrando de las dos integrales coinciden ya que ${\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( {2x} \right) = 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( x \right)\cos \left( x \right)$, ¿es cierta esta afirmación?
No
Sí
Piensalo bien, recuerda las identidades trigonométricas.
Respuesta
Como sabes no hay una única función primitiva de una dada, sin embargo todas ellas se diferencian entre sí en una constante. Esto significa que $\cos \left( {2x} \right)$ y
$2{\cos ^2}\left( x \right)$ son dos primitivas de una misma función que se diferencian en una constante.
Recuerda que
$$\cos \left( {2x} \right) = {\cos ^2}\left( x \right) - {{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}\left( x \right) = {\cos ^2}\left( x \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} \right) = $$
$$ = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 1$$
Luego,
$$\cos \left( {2x} \right) = 2{\cos ^2}\left( x \right) - 1$$