Con una integral de flujo:

El vector normal a \(S\) es $${\bf N}= -z'_x\,{\bf i}-z'_y\,{\bf j}+{\bf k}= \frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}{\bf i}+\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}{\bf j}+{\bf k}$$ con lo cual \({\bf F}\cdot{\bf N}\) sobre \(S\) es $$\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+\sqrt{1-x^2-y^2}+0.1=\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+0.1$$ y el flujo en polares resulta $$\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\left(\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}+0.1\right)\, dr\, d\theta=\frac{21}{10}\pi$$

Si utilizamos el teorema de la divergencia de Gauss:

Calculamos la divergencia del campo, $$\mbox{div}{\bf F}=3$$ y hacemos su integral triple sobre el sólido \(H\) encerrado entre el plano \(z=0\) y la semiesfera \(S\), $$\int\!\!\int\!\!\int_H \mbox{div}{\bf F}\, dV=3\mbox{Volumen}(H)=3\frac{4\pi}{6}=2\pi$$ Es evidente que alguno de los dos métodos no es correcto. ¿Dónde está el error? Analízalo y pulsa en 'Continuar'.
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El teorema de la divergencia debe aplicarse cuando la superficie sobre la que se calcula el flujo del campo vectorial sea cerrada. En este caso, la superficie \(S\) no es cerrada. Podríamos aplicar el teorema a la superficie construida uniendo \(S\) con el disco del plano XY, centrado en el origen y de radio 1: $$G=S\cup T$$ El flujo a través (hacia fuera) de \(G\) es la integral triple de la divergencia: $$F_G=\int\!\!\int\!\!\int_H \mbox{div}{\bf F}\, dV=3\mbox{Volumen}(H)=3\frac{4\pi}{6}=2\pi$$ y también es la suma de los flujos a través de \(S\) y a través de \(T\). El flujo a través de \(T\) se calcula fácilmente porque su vector normal es \(-{\bf k}\): $$F_T=\int_0^{2\pi}\int_0^1 -\frac{r}{10} \, dr\, d\theta=-\frac{\pi}{10}$$ de donde $$F_S=F_G-F_T=2\pi+\frac{\pi}{10}=\frac{21}{10}\pi$$ que es el resultado obtenido al hacer directamente la integral de flujo sobre \(S\).