Mediante integrales de línea:

El borde de \(S\) está formada por la unión de las circunferencias \(x^2+y^2=1\) en el plano \(z=1\) y \(x^2+y^2=4\) en el plano \(z=2\). Podemos llamar \(C_a\) a la circunferencia de radio \(a\) en el plano \(z=a\) con lo cual $$\delta S=C_1\cup C_2$$ y por tanto $$\mbox{Circulación}=\int_{\delta S} {\bf V}\cdot d{\bf r}=\int_{C_1}{\bf V}\cdot d{\bf r}+\int_{C_2}{\bf V}\cdot d{\bf r}$$ Encontramos el valor de cada una de esas dos integrales haciendo $$C_a:\left\{\begin{array}{l} x=a\, \cos t \\ y=a\, \mbox{sen}\, t \\ z=a \end{array}\right.\ \ \ t\in[0,2\pi]\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \left\{\begin{array}{l} dx=-a\,\mbox{sen}\, t\, dt \\ dy=a\,\cos t \, dt\\ z=0 \end{array}\right.$$ de donde $$\int_{C_a} {\bf V}\cdot d{\bf r}=\int_{C_a} y\, dx=-a^2\int_0^{2\pi} \mbox{sen}^2\, t\, dt=-\frac{a^2}{2}2\pi=-\pi a^2$$ Aplicando este resultado a los valores \(a=1\) y \(a=2\), $$\mbox{Circulación}=\int_{C_1}{\bf V}\cdot d{\bf r}+\int_{C_2}{\bf V}\cdot d{\bf r}=-\pi-4\pi=-5\pi$$

Utilizando el teorema de Stokes:

Calculamos el rotacional del campo, $${\bf rot}{\bf F}=2x\, {\bf j}-{\bf k}$$ y hacemos su integral de flujo sobre la superficie \(S\). Para ello construimos la normal y la multiplicamos por el campo rotacional, $${\bf rot}{\bf F}\cdot {\bf N}=(2x\, {\bf j}-{\bf k})\cdot (z'_x\, {\bf i}+z'_y\, {\bf j}-{\bf k})=\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+1$$ e integramos en la corona proyección, \(R\): $$\int\!\!\int_S {\bf rot}{\bf F}\cdot {\bf n}\, dS=\int\!\! \int_R \left(\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}}+1\right) \, dA$$ que en polares es $$\int_0^{2\pi}\int_1^2 \left( 2r \cos\theta\, \mbox{sen}\, \theta +1\right)r\, dr\, d\theta=\int_0^{2\pi}\int_1^2 r\, dr\, d\theta=3\pi$$ Los resultados obtenidos son diferentes. ¿Dónde está el error? Puedes observar las siguientes figuras para averiguarlo; pulsa después en 'Continuar'.
Continuar

Hay un problema grave con la orientación de las curvas. Para orientar correctamente el borde de la superficie, habríamos de tomar $$\delta S=C_1\cup C_2^-$$ que se correspondería con orientar la superficie con la normal hacia abajo, o bien tomar $$\delta S=C_1^-\cup C_2$$ que es la orientación conforme a la normal hacia arriba. Notar que el cálculo con las integrales de línea es incorrecto por que no se ha hecho con ninguna de estas dos opciones: se han orientado las dos curvas en sentido positivo.

Cuando se ha aplicado el teorema de Stokes, se ha tomado la normal hacia abajo, lo que se corresponde con $$\mbox{Circulación}=\int_{C_1}{\bf V}\cdot d{\bf r}-\int_{C_2}{\bf V}\cdot d{\bf r}=-\pi-(-4\pi)=3\pi$$