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Enunciado

Calcula el valor del área superficial de
  1. la porción \(S\) del paraboloide $$z=x^2+y^2$$ comprendida entre los planos \(z=a^2\) y \(z=b^2\), siendo \(b>a>0\); (Ver ejercicio anterior)
  2. la porción \(S\) del cono $$z=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab$$ comprendida entre los mismos planos del apartado anterior.
Compara las dos áreas obtenidas.

Cálculo del área de la porción de cono

Paso 1

Determina el diferencial de superficie para la superficie $$z=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab$$ y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$z'_x=(a+b)\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ \ ,\ \ z'_y=(a+b)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$\Rightarrow \ \ \ 1+z'^2_x+z'^2_y=1+(a+b)^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ dS=\sqrt{1+(a+b)^2}\, dA$$

Paso 2

Busca la región de integración haciendo la intersección $$\left.\begin{array}{l}z=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab\\ z=a^2 \end{array}\right\}$$
Ver
$$a^2=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt{x^2+y^2}=\frac{a(a+b)}{a+b}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2=a^2$$ De la misma forma haremos el corte con \(z=b^2\): $$b^2=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2=b^2$$ Por tanto \(R\) es la misma región que en el primer apartado: la corona de radios \(a\) y \(b\). Gráfica

Paso 3

La integral que da el área es $$\mbox{área}(S)=\int\!\!\int_R \sqrt{1+(a+b)^2}\, dA=\sqrt{1+(a+b)^2}\ \mbox{área}(R)=$$ $$=\pi\sqrt{1+(a+b)^2} (b^2-a^2)$$ ya que \(R\) es una corona de radios \(a\) y \(b\).

Resumen del segundo apartado

  1. calcular el diferencial de superficie
  2. determinar la región de integración
  3. calcular la integral.

Comparación entre las áreas obtenidas

Llamamos \(g(a,b)\) a la función que da el área de la porción de paraboloide $$g(a,b)=\frac{\pi}{6}\left[(1+4b^2)^{3/2}-(1+4a^2)^{3/2}\right]$$ y \(h(a,b)\) a la función que da el área de la porción de cono $$h(a,b)=\pi\sqrt{1+(a+b)^2} (b^2-a^2)$$ Intuitivamente parece que para cada elección de valores \((a,b)\) siendo \(b>a>0\), debería cumplirse que la porción de paraboloide sea mayor que la de cono, es decir, $$g(a,b)>h(a,b)$$ Podemos recurrir a pintar las gráficas de estas funciones en un subconjunto de $$\{(a,b)/ b>a>0\}$$: Gráfica