Superficie dada por $z=f(x,y)$

Los dos elementos que intervienen en la integral de un campo escalar sobre una superficie en explícitas son:

$\; \bullet$ La superficie $S$: tomaremos como $S$ la imagen de $z=f(x,y)$ con $(x,y)\in R$, siendo $f$ de clase $C^1$.

$\; \bullet$ El campo escalar $g(x,y,z)$ definido en una región del espacio que contenga a $S$ de forma que el resultado de evaluar $g$ sobre los puntos de $S$ sea continuo: la función $g(x,y,f(x,y))$ es una función real de dos variables, que debe ser continua en $R$.

En estas condiciones, la integral de $g$ sobre $S$ es $$\int \int_S g(x,y,z)\, dS=\int \int_R g(x,y,f(x,y))\sqrt{f'_x(x,y)^2+f'_y(x,y)^2+1}\, dA=$$ $$=\int \int_R g(x,y,f(x,y))\,\mbox{sec}\gamma_k\, dA$$ donde $\gamma_k$ es el ángulo entre ${\bf k}$ y la dirección normal a la superficie.

Superficie dada en paramétricas

Los dos elementos que intervienen en la integral de un campo escalar sobre una superficie parametrizada son:

$\; \bullet$ La superficie $S$: tomaremos ${\bf r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ con $(u,v)\in R$, con ${\bf r}$ de clase $C^1$ en $R$.

$\; \bullet$ El campo escalar $g(x,y,z)$ definido en una región del espacio que contenga a $S$ de forma que tomado sobre los puntos de $S$ el resultado sea continuo: la función $g(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ es una función real de dos variables, que debe ser continua en $R$.

En estas condiciones, la integral de $g$ sobre $S$ es $$\int \int_S g(x,y,z)\, dS=\int \int_R g(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) |{\bf T_u}\times {\bf T_v}|\, dA$$