Condiciones suficientes de integrabilidad

$\bullet $ Si $f$ es continua en una caja $H$, entonces es integrable sobre $H$.

$\bullet $ Si $f$ es acotada en una caja $H$ y es continua en ella, con excepción de un número finito de superficies suaves contenidas en $H$, entonces $f$ es integrable en $H$.

 

Propiedades

Propiedad 1 (Linealidad).- La integral triple es lineal. $$\int \int \int_H (af(x,y,z) + bg(x,y,z)){\kern 1pt} dV = a\int \int \int_H f(x,y,z){\kern 1pt} dV + b\int \int \int_H g(x,y,z){\kern 1pt} dV$$

Propiedad 2 (Aditividad del dominio de integración).- La integral triple es aditiva sobre cajas que tengan en común como mucho una porción de cara: $$\int \int \int_{{H_1} \cup {H_2}} f(x,y,z){\kern 1pt} dV = \int \int \int_{{H_1}} f(x,y,z){\kern 1pt} dV + \int \int \int_{{H_2}} f(x,y,z){\kern 1pt} dV,\;{\kern 1pt} $$ $$si{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} Volumen{\kern 1pt} ({H_1} \cap {H_2}) = 0$$

Propiedad 3 (Acotación).- Si $f(x,y,z) \le g(x,y,z)$ en casi todos los puntos de $H$, entonces $$\int \int \int_H \,f(x,y,z){\kern 1pt} dV \le \int \int \int_H g(x,y,z){\kern 1pt} dV$$

Propiedad 4 (Acotación modular).- Para cualquier $f$ integrable en $H$, $$\left| {\int \int \int_H \,f(x,y,z){\kern 1pt} dV} \right| \le \int \int \int_H |f(x,y,z)|{\kern 1pt} dV$$