Propiedades de la integral doble

• LINEALIDAD
  La integral doble es lineal: $$\int\!\!\int_R (af(x,y)+bg(x,y))\, dA=a\int\!\!\int_R f(x,y)\, dA+b\int\!\!\int_R g(x,y)\, dA$$
• ADITIVIDAD DEL DOMINIO DE INTEGRACIÓN
  La integral doble es aditiva sobre rectángulos que tengan en común como mucho un segmento de recta: $$\int\!\!\int_{R_1\cup R_2} f(x,y)\, dA=\int\!\!\int_{R_1} f(x,y)\, dA+\int\!\!\int_{R_2} f(x,y)\, dA\ \ ,\ \ \mbox{si}\ \ \mbox{Área}(R_1\cap R_2)=0$$
• ACOTACIÓN
  Si $f(x,y)\leq g(x,y)$ en casi todos los puntos (en casi todos los puntos significa en todos los puntos menos en un número finito) de $R$, entonces $$\int\!\!\int_R f(x,y)\, dA\leq \int\!\!\int_R g(x,y)\, dA$$ En consecuencia, si $f(x,y)\geq 0$ en casi todos los puntos de $R$, $$\int\!\!\int_R f(x,y)\, dA\geq 0$$ y si $f(x,y)\leq 0$ en casi todos los puntos de $R$, $$\int\!\!\int_R f(x,y)\, dA\leq 0$$
• ACOTACIÓN MODULAR
  Para cualquier $f$ integrable en $R$, $$\left |\int\!\!\int_R f(x,y)\, dA \right|\leq \int\!\!\int_R |f(x,y)|\, dA$$