Teorema sobre el cambio de variables en una integral doble

• Hipótesis: los elementos que intervienen en este teorema son los siguientes y verifican que
  • las regiones $R$ y $D$ de los planos $XY$ y $ST$ respectivamente, relacionadas por las ecuaciones $$x=x(s,t) \ \ ,\ \ y=y(s,t)$$
  • esa relación entre $R$ y $D$ es biyectiva (cada punto de $R$ es imagen de uno y sólo un punto de $D$)
  • las funciones del cambio, $x(s,t)$ e $y(s,t)$, admiten derivadas parciales continuas en $D$
  • una función $f(x,y)$ continua en la región $R$
• Tesis: bajo estas hipótesis se verifica que $$\int\!\!\int_R f(x,y)\, dx\, dy=\int\!\!\int_D f(x(s,t),y(s,t))\,\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}\right| ds\, dt$$ siendo $$\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}=\left|\begin{array}{ll} x'_s & x'_t \\ y'_s & y'_t \end{array}\right|$$