Definición (Rectángulo). Un rectángulo del plano $XY$ es el conjunto $$R=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y)/a\leq x\leq b ,\, c\leq y\leq d\}$$

Definición (Partición de un rectángulo). Partición de un rectángulo $R$ es el conjunto de subrectángulos generados al tomar una partición en $[a,b]$ y otra en $[c,d]$. Si hay $n$ subrectángulos y cada uno de ellos se denota por ${R_k}$ , tendremos $R = \bigcup\limits_{k = 1}^n {R_k}$.

Definición (Suma de Riemann). La Suma de Riemann de la función $f(x,y)$ definida en el rectángulo $R$ para la partición $\{R_k\}_{k=1}^n$ es la suma $$\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k) \Delta A_k$$ donde $(x_k,y_k)$ es un punto cualquiera tomado en el subrectángulo $R_k$ y $\Delta A_k$ es el área de $R_k$.

Definiciones:

$ \bullet $ La integral doble de la función $f(x,y)$ definida en el rectángulo $R$ es el límite, si éste existe, al que tienden sus sumas de Riemann cuando hacemos tender a cero el área de los subrectángulos de la partición. Se denota por $\int\!\!\!\int\limits_R {f(x,y)} dA$

$ \bullet $ Una función es integrable sobre un rectángulo $R$ si existe su integral doble sobre $R$.

Si $f(x,y) \ge 0$, la suma de Riemann $\sum\limits_{k = 1}^n {f({x_k},{y_k})\Delta {A_k}} $, es igual a la suma de los volúmenes de los $n$ prismas rectangulares cuya base es ${R_k}$ y cuya altura es $f({x_k},{y_k})$. En consecuencia, la integral doble definida anteriormente representa el volumen del sólido de base

Ejercicios interactivos:

• Ejemplo 1