Ejercicios preliminares e instantáneos. Integral múltiple (segunda parte)

Por ejemplo, $P_{111}(1,1,1)$ es el punto elegido para la caja de vértices $(1,1,1)$, $(1,2,1)$, $(2,1,1)$, $(2,2,1)$, $(1,1,2)$, $(1,2,2)$, $(2,1,2)$, $(2,2,2)$.
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Los puntos son $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$ y $(1,1,1)$. Responden a la fórmula $$P_{ijk}=(i,j,k)\ ,\ \ i=0,1\ ,\ \ j=0,1\ ,\ \ k=0,1$$

Los puntos son $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ y $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$. Responden a la fórmula $$P_{ijk}=\left(\frac{1}{2}+i,\frac{1}{2}+j,\frac{1}{2}+k\right)\ ,\ \ i=0,1\ ,\ \ j=0,1\ ,\ \ k=0,1$$

La suma de Riemann es la suma de los valores de la función $f(x,y,z)$ en los puntos elegidos (en este caso los puntos medios) multiplicados cada uno de ellos por el volumen de la subcaja correspondiente; por ejemplo, el primer sumando será el valor de $f(x,y,z)$ en el punto $P_{000}$ multiplicado por el volumen de la subcaja a la que pertenece este punto.
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La suma de Riemann pedida es $$S_8=\sum_{k=0}^1\sum_{j=0}^1\sum_{i=1}^1 f(P_{ijk})=\sum_{k=0}^1\sum_{j=0}^1\sum_{i=1}^1 \left(\frac{1}{2}+i+j-k\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=8$$ En este caso, la suma de Riemann es fácil de calcular a mano. También podríamos calcularla en el ordenador, escribiendo

  		x=1/2+(0:1); % abscisas de los puntos medios
  		[X,Y,Z]=meshgrid(x); % malla de puntos medios
  		f=X+Y-Z; % valores de la función sobre la malla
  		sum(f(:)) % suma de Riemann (el volumen de cada subcaja es 1)
		

Esta suma es una aproximación de la integral triple de $f(x,y,z)$ sobre la caja. El valor de esa integral también puede obtenerse en el ordenador, escribiendo

		syms x y z % se declaran estas variables simbólicas
		int(int(int(x+y-z,z,0,2),y,0,2),x,0,2) % cálculo de la integral
		

Obviamente, hay 9 secciones, una para cada número natural entre 2 y 10, ambos incluidos.

Se pueden dibujar a mano o también en el ordenador, escribiendo:

  		for n=2:10    % ciclo para dibujar las secciones
  			hold on
  			fill3([0 0 1 1], (1/n)*ones(1,4),[0 1 1 0],'g') % cada sección es un cuadrado
  			alpha(.2) % transparencia
		end
		axis([0 1 0 1 0 1]) % tamaño de los ejes
		box on % incluye caja
		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); % etiquetas de los ejes
		hold off
  		

Debes tener en cuenta sobre cuántas superficies incluidas en $H$ no es continua $f$ y cómo son esas superficies.
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Sí está garantizada la existencia de $f$ sobre $H$, pues cada sección $R_n$ es una superficie suave y hay un número finito de ellas.

Debes tener en cuenta sobre cuántas superficies incluidas en $H$ no es continua $f$ y cómo son esas superficies.
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$f$ es discontinua en un número infinito de superficies contenidas en $H$, por lo que no está garantizada la integrabilidad.

Falso. La relación entre la integral sobre $H_1$ y la integral sobre $H_2$ dependerá del signo que tome la función sobre la parte de $H_2$ que no está incluida en $H_1$. Por ejemplo, si $H_1=[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ y $H_2=[0,2]\times[0,2]\times[0,2]$ y sobre ellas se define la función $f(x,y,z)=-xyz$, la integral de $f$ en la parte de $H_2$ que no es $H_1$ es negativa, con lo cual, la integral sobre $H_1$ será mayor que la integral sobre $H_2$. En la figura vemos unas secciones de $H_2$ y $H_1$ coloreadas según el valor de $f(x,y,z)=-xyz$.

Esta figura se ha realizado con el código

  		[x,y,z] = meshgrid(0:.1:2);
  		v = -x.*y.*z;
  		xslice = 2; yslice = (0:10)/5; zslice = 0;
  		slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice)
  		colormap jet
  		shading interp
  		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
  		box on
  		view([-120,32])
  		

El plano $6x+3y+2z=6$ corta a los planos coordenados en tres segmentos rectos, respectivamente. Encuentra esas rectas en los planos coordenados para hallar las proyecciones.
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Las proyecciones son $$R_{xy}=\{(x,y) /\, 0\leq x\leq 1,\, 0\leq y\leq 2(1-x)\}$$ $$R_{xz}=\{(x,z) /\, 0\leq x\leq 1,\, 0\leq z\leq 3(1-x)\}$$ $$R_{yz}=\{(y,z) /\, 0\leq y\leq 1,\, 0\leq z\leq 3\left(1-\frac{y}{2}\right)\}$$

Estas proyecciones son fáciles de trazar a mano. Si quieres dibujarlas en el ordenador puedes hacerlo con el código siguiente, con el que también se dibuja, en otra figura, la porción de plano:

  		figure(1)
		subplot(1,3,1)
		fill3([1 0 0],[0 2 0],[0 0 0],'g', 'EdgeColor','m')
		       axis equal
		       xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
		       view([141,32])
		       axis([0 1.2 0 2.2 0 3.2])
		subplot(1,3,2)
		fill3([1 0 0],[0 0 0],[0 0 3],'r', 'EdgeColor','m')
		       axis equal
		       xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
		       view([141,32])
		       axis([0 1.2 0 2.2 0 3.2])
		subplot(1,3,3)
		fill3([0 0 0],[0 2 0],[0 0 3],'y', 'EdgeColor','m')
		       axis equal
		       xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
		       view([141,32])
		       axis([0 1.2 0 2.2 0 3.2])
		figure(2)
		fill3([1 0 0],[0 2 0],[0 0 3],'b', 'EdgeColor','m')
		axis equal
		xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
		alpha(.6)
		view([141,32])
  		

1. $dx\, dy\, dz$ se mide en $\mbox{cm}^3$,
2. $g(x,y,z)\, dV$ se mide en gr., pues es la unidad elegida para la masa,
3. $\int\!\!\int\!\!\int_H g(x,y,z)\, dV$ se mide en gr., igualmente es una masa,
4. $\frac{\int\!\!\int\!\!\int_H g(x,y,z)\, dV}{\mbox{Volumen} (H)}$ es una densidad, luego en gr$/\mbox{cm}^3$.

1. $g(x,y,z)\, dV$ se mide en $^o\mbox{Ccm}^3$,
2. igualmente, $\int\!\!\int\!\!\int_H g(x,y,z)\, dV$ se mide en $^o\mbox{Ccm}^3$,
3. $\frac{\int\!\!\int\!\!\int_H g(x,y,z)\, dV}{\mbox{Volumen} (H)}$ es una temperatura, se medirá en $^o$C.