Ejercicios preliminares e instantáneos. Integral múltiple (primera parte)

Los puntos inferiores izquierdos son $$\left(0,0\right ),\ \left(\frac{1}{2},0\right),\ \left(1,0\right), \ \left(\frac{3}{2},0\right),\ \left(0,\frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\ \left(1,\frac{1}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2},1\right)$$ Responden a la fórmula $\left(\frac{i}{2},\frac{j}{2}\right )$ con $i=0,\, 1,\, 2,\, 3$ y $j=0,\, 1$.

Los puntos medios son $$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right ),\ \left(\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right),\ \left(\frac{5}{4},\frac{1}{4}\right), \ \left(\frac{7}{4},\frac{1}{4}\right),\ \left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right),\ \left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\ \left(\frac{5}{4},\frac{3}{4}\right),\ \left(\frac{7}{4},\frac{3}{4}\right)$$ Responden a la fórmula $\left(\frac{2i-1}{4},\frac{2j-1}{4}\right )$ con $i=1,\, 2,\, 3,\, 4$ y $j=1,\, 2$ o bien $\left(\frac{1}{4}+\frac{i}{2},\frac{1}{4}+\frac{j}{2}\right )$ con $i=0,\, 1,\, 2,\, 3$ y $j=0,\, 1$.

La suma de Riemann es la suma de los valores de la función $z=f(x,y)$ en los puntos elegidos (en este caso los puntos medios) multiplicados cada uno de ellos por el área del subrectángulo correspondiente; por ejemplo, el primer sumando será el valor de $f(x,y)$ en el punto $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right )$ multiplicado por el área del cuadrado del cual hemos tomado $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right )$, esto es, área $1/4$.
Ver solución

En esta figura vemos el valor de la función sobre los puntos elegidos:

La suma de Riemann es la suma de los volúmenes de los prismas que se forman con esas 'alturas':
El valor de esta suma de Riemann es 1. El código para evaluarla en el ordenador podría ser:

    		x=1/4+(0:3)/2; % abscisas de los puntos medios
    		y=1/4+(0:1)/2; % ordenadas de los puntos medios
    		[X,Y]=meshgrid(x,y); % malla de puntos medios
    		Z=X-Y; % valores de la función sobre la malla
    		sum(Z(:))/4 % suma de Riemann
    		

El valor exacto de la integral es fácil de obtener a mano; puedes hacerlo para comprobar cuánto error se ha cometido en la aproximación con la suma de Riemann. Si quieres hacerlo en el ordenador puedes escribir:

			syms x y % declaramos x e y como variables simbólicas
			int(int(x-y,y,0,1),x,0,2) % cálculo de la integral de x-y en [0,2]x[0,1]
    		

Falso. También está asegura la integrabilidad si es discontinua sobre un número finito de curvas suaves, siempre que permanezca acotada. Por ejemplo la superficie que se muestra en la figura, es la gráfica de una función integrable en el rectángulo $[0,3]\times[0,3]$, a pesar de que es discontinua en todo el segmento $y=2$.

Falso, al igual que la suma de productos no es el producto de la suma. Recuerda que la integral es el límite de las sumas de Riemann. Como contraejemplo, piensa en $f(x,y)=1$ y $g(x,y)=1$: la integral de $f(x,y)g(x,y)=1$ sobre el rectángulo $R=[0,2]\times[0,1]$ es el área de $R$, es decir, 2; la integral de $f(x,y)$ también es el área de $R$, y lo mismo ocurre con la integral de $g(x,y)$; pero desde luego 2 no es igual a 4.

En la unión de dos rectángulos con una parte común, esa parte está sólo una vez. Además, recuerda que la integral de una función positiva sobre un rectángulo es necesariamente un número positivo y de la misma forma, la integral de una función que es negativa en todos los puntos de un rectángulo resulta necesariamente un número negativo.
Ver solución

$R=[0,2]\times[1,2]$ es la parte común a $R_1$ y $R_2$: esto se escribe $R=R_1\cap R_2$. En $I_1+I_2$ se está integrando dos veces sobre $R=R_1\cap R_2$, mientras que en $I_3$ sólo una. Por tanto,

1. $I_1+I_2>I_3$ si por ejemplo $f(x,y)$ es positiva en $R$: el volumen correspondiente a $R_1\cap R_2$ (figura de la derecha) está dos veces en $I_1+I_2$ y sólo una vez en $I_3$
   
2. $I_1+I_2=I_3$ si por ejemplo $f(x,y)$ es nula en $R$
3. $I_1+I_2<I_3$ si por ejemplo $f(x,y)$ es negativa en $R$: la integral de $f(x,y)$ sobre $R$ (figura de la derecha) es negativa y está dos veces en $I_1+I_2$ y sólo una vez en $I_3$
   

La gráfica de $x^2+y^2=1$ en el plano es la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio 1. En el espacio, $x^2+y^2=1$ es un cilindro circular recto; sólo podemos dibujar una parte, por ejemplo la correspondiente a $-2\leq z\leq 2$

			t=0:pi/20:2*pi; % valores del ángulo
			subplot(1,2,1)
			plot(cos(t),sin(t))  % trazado de la circunferencia
			xlabel('x');ylabel('y');axis equal
			subplot(1,2,2)
			[T,Z]=meshgrid(t,-2:2); % malla para dibujar el cilindro
			surf(cos(T),sin(T),Z); % trazado del cilindro
			shading interp
			alpha(.7)
			

• $y=x^2$ es un cilidro parabólico, cada sección por planos $z$ constante repite la misma parábola
  
• $z=y^2$ es un cilidro parabólico, cada sección por planos $x$ constante repite la misma parábola
  
• $z=x^2$ es un cilidro parabólico, cada sección por planos $y$ constante repite la misma parábola
  

Podemos dibujar estas porciones de cilindros con la siguiente función; a la hora de ejecutarla se daría el valor o 1 o 2 o 3 a la variable 'apartado':

			function cilindros(apartado)
			[X,Y]=meshgrid(-1:.1:1); % malla de puntos
			figure(apartado)
			switch apartado
			    case 1
			        surf(X,X.^2,Y) % cilindro parabólico y=x^2
			    case 2
			        surf(X,Y,Y.^2) % cilindro parabólico z=y^2
			    case 3
			        surf(X,Y,X.^2) % cilindro parabólico z=x^2
			end
			shading interp
			alpha(.7)
			axis equal
			xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
			end
	    

1. Es la recta $x=1$ en $z=3$:
   
2. Es la parábola $z=4-x^2$ en $y=1$:
   
3. Es el par de rectas $z=3$ en $x=1$ y $z=3$ en $x=-1$:
   

1. la región infinita dada por $y\geq 3x$:
   
2. la región infinita dada por $y\leq -2x$:
   
3. la región infinita dada por $3x\leq y\leq -2x$:
   
4. la región finita dada por $3x\leq y\leq -2x$, con $x\geq -2$:
   

1. $x\geq y^2$:
   
2. $x\geq (y-2)^2$:
   
3. $(y-2)^2\leq x\leq y^2$:
   

Mira a ver si la curva $f(x,y)=0$ toca al rectángulo $R$.
Ver solución

$z=4-x-y$ se anula en $x+y=4$; todo $R$ está en la región $x+y<4$, donde $z=4-x-y$ es positiva:


Continuar

La recta $x+y=1$ atraviesa $R$: $z=2(x+y-1)$ es positiva sólo en la parte de $R$ que queda encima de la recta $x+y=1$:


Continuar

$R$ está incluido entero en la región $x^2+y^2<9$, donde $z=9-(x^2+y^2)$ es positiva:

1. $z=1+x^2+y^2$ es siempre positiva, de hecho es siempre mayor o igual que 1; no se corta con el plano $z=0$:
   
2. $z=1-x^2-2y^2$ corta al plano $z=0$ en la elipse $\frac{x^2}{2}+y^2=\frac{1}{2}$:
   
3. $z=\sqrt{x^2+y^2}-1$ corta al plano $z=0$ en la circunferencia $x^2+y^2=1$:
   
4. $x^2+y^2=9$ corta al plano $z=0$ en la circunferencia $x^2+y^2=9$:
   
5. $x^2+z^2=9$ corta al plano $z=0$ en las rectas $x=-3$ y $x=3$:
   
6. $z^2+y^2=9$ corta al plano $z=0$ en las rectas $y=-3$ e $y=3$:
   

Recuerda que la diferencial de una variable no es más que una diferencia entre valores de esa variable; por lo tanto si, por ejemplo, la variable es una longitud, su diferencial también lo será.
Ver solución

1. $dx\, dy$ se mide en $\mbox{cm}^2$, pues es un área;
2. $g(x,y)\, dA$ se mide en gr, es una masa;
3. $\int\!\!\int_R g(x,y)\, dA$ también en gr, sigue siendo una masa;
4. $\frac{\int\!\!\int_R g(x,y)\, dA}{\mbox{Área} (R)}$ se mide en gr$/\mbox{cm}^2$, pues es la unidad elegida para la densidad;
5. $dr$ se mide en cm., pues es en lo que se está midiendo $r$;
6. $dr\, d\theta$ también en cm., pues $\theta$ es adimensional;
7. $r\, dr\, d\theta$ se mide en $\mbox{cm}^2$;
8. $g(r\cos\theta ,r\mbox{sen} \theta)r\, dr\, d\theta$ se mide en gr, es una masa.

Los códigos que se incluyen, además de representar la proyección también trazarán la superficie.

1. La proyección es el rectángulo $R_{xy}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\times [1,2]$:
   

   				x=linspace(-sqrt(2)+10^(-7),sqrt(2)-10^(-7),20);
   				[X,Y]=meshgrid(x,1:2);
   				surf(X,Y,sqrt(2-X.^2)) % trazado de la superficie
   				hold on
   				surf(X,Y,zeros(size(X))) % dibujo de la proyección
   				shading interp
   				hold off
   				axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
   	    		

2. La proyección es la corona circular de centro $(0,0)$ y radios $1$ y $2$:
   

   	    		[R,T]=meshgrid(1:.05:2,0:pi/20:2*pi);
   				surf(R.*cos(T),R.*sin(T),R.^2) % trazado de la superficie
   				hold on
   				surf(R.*cos(T),R.*sin(T),zeros(size(R))) % dibujo de la proyección
   				shading interp
         			hold off
         			axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
         			

3. La proyección es la corona circular de centro $(0,0)$ y radios $1$ y $3$:
   

	    		[R,T]=meshgrid(1:.05:3,0:pi/20:2*pi);
				surf(R.*cos(T),R.*sin(T),1-R) % trazado de la superficie
				hold on
				surf(R.*cos(T),R.*sin(T),zeros(size(R))) % dibujo de la proyección
				shading interp
      			hold off
      			axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
	    		

Los códigos que se incluyen, además de representar la proyección también trazarán la superficie.

1. La proyección es el círculo de centro $(0,0)$ y radio 1:
   

   				[R,T]=meshgrid(0:.1:1,0:pi/20:2*pi);
   				surf(R.*cos(T),3-R.^2,R.*sin(T),3-R.^2) % trazado de la superficie
   				hold on
   				surf(R.*cos(T),zeros(size(R)),R.*sin(T)) % dibujo de la proyección
   				shading interp
   				hold off
   				axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
   	    		

2. La proyección es la banda infinita $-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}$, $z\in{\bf R}$; en la figura se ha tomado $z$ entre $-2$ y $2$:
   

   				[X,Z]=meshgrid(-sqrt(3):.1:sqrt(3),-2:2);
   				surf(X,sqrt(4-X.^2),Z) % trazado de la superficie
   				hold on
   				surf(X,zeros(size(X)),Z) % dibujo de la proyección
   				shading interp
   				hold off
   				axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
   	    		

3. La proyección es el interior de la elipse $x^2+2\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$:
   

   				[R,T]=meshgrid(0:.1:1,0:pi/20:2*pi);
   				X=R.*cos(T)/sqrt(2); Z=.5*(1+R.*sin(T)); % trazado de la superficie
   				surf(X,sqrt(1-X.^2-Z.^2),Z)
   				 hold on
   				 surf(X,zeros(size(X)),Z) % dibujo de la proyección
   				 shading interp
   				 hold off
   				axis equal;xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');alpha(.5)
   	    		

Recuerda que el argumento de la semirecta de ecuación $y=kx$ es el ángulo $\theta=\mbox{arctg}\, \frac{y}{x}$; si los ángulos se toman entre $-\pi$ y $\pi$, debe cumplirse que $\mbox{signo}\, \theta=\mbox{signo}\, y$
Ver solución

1. $y=x$ en $x>0$ es $\theta=\pi/4$:
   
2. $y=-x$ en $x<0$ es $\theta=3\pi/4$:
   
3. $y=0$ en $x<0$ es $\theta=\pi$:
   
4. $x=0$ en $y>0$ es $\theta=\pi/2$:
   
5. $x=0$ en $y<0$ es $\theta=-\pi/2$ o $\theta=3\pi/2$:
   
6. $y=\sqrt{3}x$ en $x>0$ es $\theta=\pi/3$:
   
7. $y=-\sqrt{3}x$ en $x>0$ es $\theta=-\pi/3$ o $\theta=5\pi/3$:
   
8. $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ en $x<0$ es $\theta=-5\pi/6$ o $\theta=7\pi/6$:
   
9. $y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$ en $x<0$ es $\theta=5\pi/6$:
   

Recuerda que para hallar la derivada parcial de $z=f(x,y)$ respecto de $x$, derivamos $f$ tomando la $y$ como una constante.
Ver solución

1. $u'_x(x,y)=\frac{1}{y}$; el código para hacer esta derivada en el ordenador sería

   				syms x y % declara las variables x e y como simbólicas
   				diff(x/y,x) % deriva la función x/y respecto de x
   			  

2. $x'_s(s,t)=2s\cos (st)-ts^2\mbox{sen} (st)$
3. $y'_u(u,v)=1+e^{u+v}$

1. $u'_y(x,y)=\frac{-x}{y^2}$; el código para hacer esta derivada en el ordenador sería

   				syms x y % declara las variables x e y como simbólicas
   				diff(x/y,y) % deriva la función x/y respecto de y
   			  

2. $x'_t(s,t)=-s^3\mbox{sen} (st)$
3. $y'_v(u,v)=e^{u+v}$

Para dividir polinomios como éstos, que tienen dos variables, hemos de pensar en ellos como funciones de una de ellas y la otra tratarla, de cara a la división, como si fuera una constante. Por ejemplo, el polinomio $y^2-2-3yx$ podemos escribirlo ordenado en potencias de $x$: $$-3yx+y^2-2$$ de manera que el coeficiente del primer monomio es $(-3y)$ y el término independiente es $y^2-2$ o podemos expresarlo ordenado en potencias de $y$: $$y^2-3xy-2$$ de forma que el coeficiente del monomio de grado dos es $1$, el coeficiente del monomio de grado 1 es $-3x$ y el coeficiene del término independiente es $-2$. Si tenemos que dividir $y^2-2-3yx$ entre $x-y$, podemos tomar ambos ordenados en potencias de $x$, considerando la $y$ como constante: $$\frac{-3yx+y^2-2}{x-y}=-3y-2\frac{y^2+1}{x-y}$$ o podemos ordenar ambos en potencias de $y$ considerando la $x$ como constante: $$\frac{y^2-3xy-2}{-y+x}=-y+2x-2\frac{x^2+1}{-y+x}$$ Ver solución

1. $\frac{p(x,y)}{q(x,y)}=2x^2+y^2x+y$
2. $\frac{p(x,y)}{q(x,y)}=x^2-x(y+1)+2y$