Test de autoevaluación: Polinomios de Taylor

Responde a las siguientes cuestiones para comprobar el grado de conocimiento sobre polinomios de Taylor.

1. Expresar el polinomio $P (x) = 3 x^{4} + 2 x^{2} + x - 8$ de dos formas distintas:

a) en potencias de $(x-1)$ ; b) en potencias de $(x+2)$

2. Obtener el polinomio de Taylor de grado 2 correspondiente a la función $f (x) = \sqrt[3]{x}$ , en un entorno del punto $a = 8$.

3. Hallar el polinomio de Taylor de grado tres correspondiente a la función f(x) =e^x, en un entorno del punto $a = -1$. Mediante este polinomio obtener una aproximación del número e^-4/3. Aplicar el resto de Lagrange y considerar como cota superior del número e el valor 2'73 para hallar una cota del error cometido en la aproximación anterior.

4. Hallar el polinomio de MacLaurin de grado cuatro de la función f(x) =cos(x). Mediante este polinomio obtener una aproximación de cos(π/8) y hallar una cota del error cometido en la aproximación. Utilizar π = 3'1416, $s e n (c) \leq s e n (\frac{π}{8}) \leq s e n (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}, c \in (0, \frac{π}{8})$ .

5. Hallar el orden del infinitésimo siguiente $arctg(x)-tg(x)$

6. Calcula los extremos del siguiente polinomio $p\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^3} - 4x + 1$

7. Determina qué tipo de extremo es $x=0$ para la función ${e^x} - x - \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{6}$

8. Determina $a$ , $b$ y $c$ para que $a \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} x + b \cdot {e^x} + c \cdot \cos x$sea un infinitésimo de mayor orden posible