Polinomios de Taylor

Calculamos las derivadas de la función f(x)=e^x y hallamos su valor en el origen para obtener el polinomio de MacLaurin de f, así $$\begin{array}{l}f(x)=e^x=f´(x)=f´´(x)=f´´´(x)=f^{4)}(x)=\mathrm{...}=f^{n)}(x)\Rightarrow \\ \Rightarrow f(0)=f^{n)}(0)=e^0=\mathrm{1,}\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{e}^x\cong T_n(x)=f(0)+f´(0)\cdot \frac{x}{1!}+f´´(0)\cdot \frac{x^2}{2!}+f´´´(0)\cdot \frac{x^3}{3!}+\mathrm{...}+f^{n)}(0)\cdot \frac{x^n}{n!}=\\ =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\mathrm{...}+\frac{x^n}{n!}\end{array}$$
Sustituyéndole en el punto $x=\frac{1}{3}$ se tiene que $$\sqrt[3]{e}=e^{1/3}\cong 1+\frac{1}{3}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}{2!}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}{4!}+\mathrm{...}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{n!}$$ Para conseguir tres cifras decimales exactas en la aproximación, debemos tomar la cota del error 0'0001. Calculamos el número de términos del polinomio que necesitamos sumar para conseguir esta aproximación. Una cota del error será: teniendo en cuenta que $c\in (0,\frac{1}{3})$ $$\begin{array}{l}\left|R_n\left(\frac{1}{3}\right)\right|=\frac{e^c\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}<\frac{3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{3^n\left(n+1\right)!}\\ \text{Elegimos}\text{n}\text{cumpliendo}\frac{1}{3^n\left(n+1\right)!}<0\text{'}0001\end{array}$$
Dando valores a n con la calculadora comprobamos que el primer valor de n que cumple la desigualdad es n = 4. El valor aproximado que nos proporciona el polinomio de MacLaurin de grado cuatro será $$T_4\left(\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{3}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}{2!}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}{4!}\cong 1\text{'}3955760$$ y el error cometido con esta aproximación se puede aproximar por $$\left|R_4\left(\frac{1}{3}\right)\right|=R_4\left(\frac{1}{3}\right)<\frac{3\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^5}{5!}=\frac{1}{81\cdot 120}\cong 1\text{'}02\cdot {10}^{-4}$$ Con los datos anteriores, podemos escribir el valor buscado dentro del intervalo $$\begin{array}{l}1\text{'}3955760-0\text{'}000102<\sqrt[3]{e}<1\text{'}3955760+0\text{'}000102\Rightarrow \\ \sqrt[3]{e}\cong 1\text{'}395\end{array}$$ .