Material interactivo
Polinomios de Taylor
Hallar el desarrollo de MacLaurin de
y utilizarlo para calcular log(2) con cinco cifras decimales exactas.
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Aplicando las propiedades de los logaritmos podemos escribir
Hallamos las derivadas de f y sustituimos su valor en el origen para obtener el término general de su polinomio de MacLaurin, así
Aproximamos la función f mediante los primeros términos del polinomio de MacLaurin, así
Para responder a la cuestión del ejercicio sustituimos
, de donde hemos deducido que la aproximación se plantea así
Para tener una estimación del resto necesitamos sumar la cola de la serie que da log(2), resultando
luego
Como la serie geométrica entre paréntisis converge a
, vemos que
En particular, para lograr cinco cifras decimales exactas tenemos que hacer el término de la derecha menor que 0'000005 (tomamos seis decimales para evitar el error de redondeo). Dando valores a n y utilizando una calculadora, obtenemos
Por tanto aproximamos log(2) con n=5, así
El valor de log(2) quedará comprendido dentro del intervalo
Redondeando con cinco cifras decimales,
.