Polinomios de Taylor

Aplicando las propiedades de los logaritmos podemos escribir $$f(x)=\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\log \left(1+x\right)-\log \left(1-x\right)$$ Hallamos las derivadas de f y sustituimos su valor en el origen para obtener el término general de su polinomio de MacLaurin, así $$\begin{array}{l}f(x)=\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\log \left(1+x\right)-\log \left(1-x\right)\Rightarrow f(0)=\log \left(1\right)-\log \left(1\right)=0\\ f´(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}={\left(1+x\right)}^{-1}+{\left(1-x\right)}^{-1}\Rightarrow f´(0)=2\\ f´´(x)=-{\left(1+x\right)}^{-2}+{\left(1-x\right)}^{-2}\Rightarrow f´´(0)=0\\ f´´´(x)=2\cdot \left\{{\left(1+x\right)}^{-3}+{\left(1-x\right)}^{-3}\right\}\Rightarrow f´´´(0)=2\cdot 2=4\\ f^{4)}(x)=2\cdot 3\cdot \left\{-{\left(1+x\right)}^{-4}+{\left(1-x\right)}^{-4}\right\}\Rightarrow f^{4)}(0)=0\\ f^{5)}(x)=2\cdot 3\cdot 4\cdot \left\{{\left(1+x\right)}^{-5}+{\left(1-x\right)}^{-5}\right\}\Rightarrow f^{5)}(0)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 2\\ f^{6)}(x)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \left\{-{\left(1+x\right)}^{-6}+{\left(1-x\right)}^{-6}\right\}\Rightarrow f^{6)}(0)=0\\ f^{7)}(x)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot \left\{{\left(1+x\right)}^{-7}+{\left(1-x\right)}^{-7}\right\}\Rightarrow f^{7)}(0)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 2\end{array}$$ Aproximamos la función f mediante los primeros términos del polinomio de MacLaurin, así $$\begin{array}{l}f(x)\cong f(0)+f´(0)\cdot \frac{x}{1!}+f´´(0)\cdot \frac{x^2}{2!}+f´´´(0)\cdot \frac{x^3}{3!}+f^{4)}(0)\cdot \frac{x^4}{4!}+\\ +f^{5)}(0)\cdot \frac{x^5}{5!}+f^{6)}(0)\cdot \frac{x^6}{6!}+f^{7)}(0)\cdot \frac{x^7}{7!}+\mathrm{...}+f^{n)}(0)\cdot \frac{x^n}{n!}=\\ =2\cdot x+\frac{2\cdot 2}{3!}\cdot x^3+\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 2}{5!}\cdot x^5+\frac{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 2}{7!}\cdot x^7+\mathrm{...}+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\\ =2\cdot \left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\mathrm{...}+\frac{x^{2n-1}}{2n-1}\right)\end{array}$$
Para responder a la cuestión del ejercicio sustituimos $\frac{1+x}{1-x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ , de donde hemos deducido que la aproximación se plantea así $$\log (2)=2\cdot \left(\frac{1}{3}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}{3}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^5}{5}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^7}{7}+\mathrm{...}+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n-1}}{2n-1}\right)+R_n\left(\frac{1}{3}\right)$$ Para tener una estimación del resto necesitamos sumar la cola de la serie que da log(2), resultando $$\begin{array}{l}\left|R_n\left(\frac{1}{3}\right)\right|=\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}+\frac{2}{2n+3}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+3}+\mathrm{...}<\\ <\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}+\frac{2}{2n+1}\cdot \frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}+\mathrm{...}\end{array}$$
luego $$\left|R_n\left(\frac{1}{3}\right)\right|<\frac{2}{2n+1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{81}+\mathrm{...}\right)$$
Como la serie geométrica entre paréntisis converge a $\frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{9}{8}$ , vemos que
$$\left|R_n\left(\frac{1}{3}\right)\right|<\frac{2}{2n+1}\cdot \frac{9}{8}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}$$
En particular, para lograr cinco cifras decimales exactas tenemos que hacer el término de la derecha menor que 0'000005 (tomamos seis decimales para evitar el error de redondeo). Dando valores a n y utilizando una calculadora, obtenemos $$\frac{2}{2\cdot 5+1}\cdot \frac{9}{8}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2\cdot 5+1}\cong 0\text{'}0000012$$
Por tanto aproximamos log(2) con n=5, así
$$\log (2)\cong M_5(x)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^5+\frac{2}{7}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^7+\frac{2}{9}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9\cong 0\text{'}6931460$$
El valor de log(2) quedará comprendido dentro del intervalo $$\begin{array}{l}0\text{'}6931460-0\text{'}0000012<\log (2)<0\text{'}6931460+0\text{'}0000012\Rightarrow \\ 0\text{'}6931448<\log (2)<0\text{'}6931472\end{array}$$ Redondeando con cinco cifras decimales, $\log$ . $$\begin{array}{l}\left|R_n\left(\frac{1}{3}\right)\right|<\frac{2}{2n+1}\cdot \frac{9}{8}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2n+1}\frac{2}{2\cdot 5+1}\cdot \frac{9}{8}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2\cdot 5+1}\cong 0\text{'}0000012\\ \log (2)\cong T_5(x)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3+\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^5+\frac{2}{7}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^7+\frac{2}{9}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9\cong 0\text{'}6931460\\ 0\text{'}6931460-0\text{'}0000012<\log (2)<0\text{'}6931460+0\text{'}0000012\Rightarrow \\ 0\text{'}6931448<\log (2)<0\text{'}6931472\\ \log (2)\cong 0\text{'}69314\end{array}$$