Polinomios

Hallar el polinomio de MacLaurin de grado cinco de la función f(x) =e^x y utilizar este polinomio para calcular una aproximación del número e. Aplicar el teorema de Taylor para evaluar la precisión de esta aproximación.

Derivando la función hasta el orden n, obtenemos la serie de MacLaurin de dicha función

$\begin{array}{l} f (x) = e^{x} = f ´ (x) = f ´ ´ (x) = f^{3)} (x) = ... = f^{n)} (x) = ... \\ f (0) = f ´ (0) = f ´ ´ (0) = f^{3)} (0) = ... = f^{n)} (0) = e^{0} = 1 \end{array}$
Tomando hasta el término de grado cinco obtenemos $e^{x} ≅ T_{5} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120}$
Este polinomio de MacLaurin de grado 5 se considera una aproximación de e^x. Podemos observar gráficamente que el error aumenta conforme nos alejamos del origen. Consideremos las gráficas en el intervalo [0, 1], como puedes ver si utilizas el Laboratorio).

Para determinar la precisión conseguida mediante el polinomio de MacLaurin de grado cinco cuando x = 1, utilizamos el teorema de Taylor $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + R_{5} (1) = 2' 71 \bar{6} + R_{5} (1)$
El resto está dado por la expresión
$R_{n} (x) = \frac{f^{n + 1)} (c)}{(n + 1)!} \cdot x^{n + 1}$
donde c es un número comprendido entre 0 y x. En particular, $R_{5} (1) = \frac{e^{c}}{(6)!} \cdot 1^{6}$ donde c está comprendido entre 0 y 1. En consecuencia, e^c < e< 3 de donde se deduce
$R_{5} (1) < \frac{e}{6!} < \frac{3}{6!} ≅ 0' 0042$

Luego e está comprendido en el intervalo $2' 7166 - 0' 0042 < e < 2' 7166 + 0' 0042 \Rightarrow 2' 7124 < e < 2' 7208$
Si hubiésemos tomado 2'73 en lugar de 3 como cota superior de e, habríamos obtenido una aproximación mejor para e.