Escribir un polinomio en potencias de $x-a$

Todo polinomio $p(x)$ de grado $n$, se puede escribir de la forma $$p(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+\ldots + a_n(x-a)^n$$ sea cual sea el valor de $a$. A ese valor $a$ se le llama el centro del polinomio. Los coeficientes $a_k$ se pueden obtener dividiendo sucesivamente o bien teniendo en cuenta que $$a_k=\frac{p^{(k}(a)}{n!}$$ para $k=0$, 1, 2,$\ldots, \ n$. Recuerda que $0!=1$.

Igualdad de polinomios

Puesto que como acabamos de ver, el valor de las derivadas desde el orden 0 (las propias funciones) hasta el orden $n$ determinan los coeficientes del polinomio, se tiene que no existen dos polinomios diferentes de orden $n$ que pasando por un mismo punto tengan sus $n$ primeras derivadas iguales en ese punto. Este resultado nos invita a pensar que dos funciones son más parecidas cerca de un punto cuanto mayor sea el orden de las derivadas que coinciden en ese punto. De esta manera, la forma de buscar un polinomio que aproxime a una función en las cercanías de un punto será forzar a que las derivadas del polinomio en ese punto coincidan con las de la función.

Polinomio de Taylor

Supongamos que $f(x)$ es una función derivable $n$ veces en el punto $a$. Se define el polinomio de Taylor de grado $n$ correspondiente a la función $f$ en el punto $a$ como $$T_n[f(x);a]=$$ $$=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+$$ $$+\cdots+\frac{f^{(n}(a)}{n!}(x-a)^n$$ En el caso en que $a=0$, el polinomio se llama de MacLaurin.

Resto enésimo

Supongamos que $f(x)$ es una función derivable $n$ veces en el punto $a$. Se llama resto enésimo de $f(x)$ en $a$ a $$R_n[f(x);a]=f(x)-T_n[f(x);a]$$ Es una función de $x$ que da la diferencia entre el valor de la función y el polinomio de Taylor centrado en $a$ de grado $n$.

La siguiente cuestión que se plantea ahora es si ese resto puede calcularse ¿responde a alguna fórmula? En cierta manera sí, pero no a una fórmula en que pueda introducirse los datos y sacar los resultados. La expresión del resto va a depender de un valor desconocido, $t$, del cual lo único que se conoce es un intervalo en el que se encuentra. Existen varias formulaciones para el resto, aquí sólo veremos una, la expresión del resto de Lagrange.

Fórmula de Taylor con resto de Lagrange

La fórmula de Taylor de $f$ en $a$ para grado $n$ es $$f(x)=T_n[f(x);a]+R_n[f(x);a]$$ y el resto de Lagrange es $$R_n[f(x);a]=\frac{f^{(n+1}(t)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ donde $t$ es un punto entre $a$ y $x$: dependiendo de si $x$ es mayor o menor que $a$ será o bien $a

Teorema de Taylor

Si $f$ es una función derivable $n$ veces en el punto $a$ y $R_n[f(x);a]$ es su correspondiente resto de Taylor, entonces $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{R_n[f(x);a]}{(x-a)^n}=0$$ o bien $$R_n[f(x);a]=o((x-a)^n)$$

Este teorema permite escribir una función como la suma de un polinomio, que la aproxima cerca de un punto $x=a$, mas un infinitésimo en $x=a$. Por ejemplo, en el caso en que el polinomio sea de grado 1, estaremos aproximando por la recta tangente, aproximación lineal ya conocida, la diferencia entre la función y la recta tangente es un infinitésimo de grado 2 en la abscisa del punto de tangencia. El hecho de que la diferencia entre el polinomio y la función a la que aproxima sea un infinitésimo de orden superior al del polinomio permite ''despreciar'' esa diferencia por no ser suficientemente significativa. Esta forma de expresar una función como suma de un polinomio aproximante mas un infinitésimo también se llama desarrollos limitados.

Fórmula de Taylor con la notación o pequeña

Usando el teorema anterior, la fórmula de Taylor $$f(x)=T_n[f(x);a]+R_n[f(x);a]$$ puede escribirse $$f(x)=T_n[f(x);a]+o((x-a)^n)$$

Determinación de la parte principal mediante la fórmula de Taylor

Si $f(x)$ es un infinitésimo para $x=a$ tal que todas sus derivadas en $x=a$ son nulas hasta el orden $k-1$ y $f^{(k}(a)\neq 0$, la fórmula de Taylor para $f$ en $a$ es $$f(x)=\frac{f^{(k}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^k)$$ lo que significa que el orden de $f(x)$ en $x=a$ es $k$ y su parte principal es $\frac{f^{(k}(a)}{k!}(x-a)^k$.